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Le lieu des coniques, situées dans les plans d'un faisceau avec l'axe 

 l, qui s'appuient sur trois droites c,, r.>, c^ et sur deux courbes 

 gauches G'', G'', ayant pour sécantes d'ordre (p —1), (q — 1) la droite 

 l, est une surface du degrc 2{i) + q h- 2) avec une droite multiple 

 d'ordre 2{p + q -\- \). 



D'après le § 24, cette surface renferme {(Sp H- ()(/ + 8) couples 

 de droites s'appuyaut sur la droite multiple l Examinons leurs 

 relations avec les directrices. 



En cherchant le nombre des génératrices de l'hyperboloïde (/c, c.^) 

 rencontrées par G'' en des points hors des directrices droites, on 

 arrive à un nombre de [p + \) droites situées dans la surface. 



Ce nombre indique, en même temps, le degré de la surface 

 réglée définie par les directrices l, <;,, d'''. Parce que l est visible- 

 ment une droite p''" de cette surface, le nombre des transversales 

 de /, c,, G^, G'' est égal à {p + \)q — piq — 1)— p + ç; il est 

 évident que ces di'oites appartiennent à la surface axiale. 



En résumé, cette surface renferme ^ {p + q) droites rencontrées 

 par une directrice c et par les directrices courbes; o {p + I) -i- 

 3 (g -f- 1) droites s'appuyant sur deux directrices c et sur l'une des 

 directrices courbes; finalement deux droites coupées par c^,c.^,c.^. 

 Avec leurs droites associées, elles forment (6j» + 6^ + 8) couples. 



En combinant la surface axiale d'ordre 2 (p + ç + 2) avec une 

 courbe gauche G' qui rencontre (?• — 1) fois l'axe l, on arrive à 

 une surface d'ordre 2{p + q -^ r + \) avec deux directrices droites 

 Cj, c.y et ti'ois directrices courbes G^', G'', G'^ . 



De la même manière, on obtient une surfiice d'ordre 2{p + q 

 + r + s) avec une seule directrice droite, et une surface d'ordre 

 2(pj-\-q + r + s + t — 1) avec cinq directrices courbes d'ordres 

 p, q, r, s, t. 



§ 30 Revenons à la surface axiale du huitième degré, engendrée 

 par des coniques qui rencontrent cinq droites c. 



Supposons que les droites c,, c.,, c^, c^ et l, aient une trans- 

 versale a^.y.^. 



Alors le plan {la^n..f) contient une infinité de coniques appar- 

 tenant au lieu, toutes composées de la droite a^^.y^A 6* cl'un rayon 

 passant par la trace de c^. Par conséquent, la surface »S** dégénérera 

 en un plan et une S'', avec la droite quintuple l. 



Comme la transversale a^n^ remplace les droites ajo-j, a^.-,^, ajj^ 

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