260 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



et ao34 (§ 12), le nombre de couples de droites, rencontrées par l, 

 est diminué de trois unités, ce qui s'accorde avec le nombre fourni 

 par l'expression (Sn — 4). 



En posant les droites c de manière qu'elles possèdent un nombre 

 convenable de transversales a, y;.,, on peut évidemment obtenir des 

 surfaces d'ordre 6, 5, 4 et 3. 



Si l'on prend les cinq droites c de manière qu'elles s'appuient 

 sur une droite a^.jnib c|^^' rencontre l'axe l, cette transversale rem- 

 place les dix droites a..,,, de sorte que la surface renferme d'ail- 

 leurs seulement dix couples {b.ji., a,,J. 



Puisque la droite a^oiur. peut être considérée comme la coïncidence 

 de deux transversales a^^ai ^^ ^'v::ir,> 1^ surface axiale se décomposera 

 en un plan double et une S'^, ayant pour droite double la trans- 

 versale ajoy-,. 



Cela s'accorde avec le nombre dix des couples de droites que 

 j^'on obtient en posant w = 6 dans l'expression (3n — 8). 



Il en résulte qu'une surface S", avec une droite (n — 2)'''' l et 

 une droite double cl qui la rencontre, ne peut renfermer que quatre 

 droites c arbitraires, s'appuyant sur d. 



Pour construire une telle surface d'ordre n — 2m, il suffit d'ima- 

 giner une directrice courbe d'ordre (m — 2) qui rencontre (m — 3) 

 fois l'axe l et une fois la droite double d. 



Si l'on a 7i = 2m — 1, on obtient la surface analogue en choi- 

 sissant les droites c de manière que deux d'elles se coupent. 



§ 31. Supposons qu'une surface S" admette les points (w — 1)'"'' 

 et Q. 



Alors chaque plan mené par OQ ^ l, rencontre S" en une conique 

 et en la droite (n — 2)'' " l. 



Nous avons démontré qu'une telle surface peut renfermer deux 

 droites arbitraires c,, c^. 



Or, il est facile de construire une surface analogue. 



Il suffit d'ajouter aux directrices c,, c, une directrice courbe 

 d'ordre (771 --1), ayant pour sécante (m — 2)'" l'axe l. 



En effet, soit c.^ une droite arbitraire. La surface quartique, 

 ayant des points triples en et Q, placés sur l, et pour direc- 

 trices de ses coniques les droites c,, c^, c.^, renferme visiblement 

 4 (m — 1) — ^ (m — 2) = 2m coniques qui s'appuient sur la courbe 



