UN NOMliKK FINI DE DROITES. 261 



G"' ' . Par suite, le lieu des coniques menées par 0, Q et rencon- 

 trées par G'" ^ , c, et c^, sera une surface axiale d'ordre 2m, avec 

 des points (2m — 1)''"' O et Q. 



En supposant que c, coupe la courbe G'"' , on trouve évidem- 

 ment une surface analogue du degré (2m — 1). 



II est clair qu'on obtient aussi une surface d'ordre (2m — 1) en 

 prenant deux droites c,, c^ qui se coupent. 



§ 32. Puisque la surf;xce S'"' que nous venons de construire, 

 admet une droite d'ordre (2 m — 2), sur laquelle sont placés deux 

 points d'ordre (2 m — 1), il est nécessaire qu'elle renferme (2 m — 2) 

 coniques décomposables dont chacune contient l'axe l. 



Or, il est facile de le vérifier. En effet, la surface réglée qua- 

 dratique définie par l, Cj, c,, rencontre la directrice G'"" en 

 2 (m — 1) — (m — 2) = m points. Par chacun de ces points il passe 

 une transversale de /, c, c, et G'"~ qui forme avec i une conique 

 dégénérée. 



Un plan, mené par l et par la tangente de G'" ^ en une de ses 

 intersections avec /, contient visiblement un couple de droites, 

 formé par l et la transversale de Cj, c,, tracée par le point de 

 contact de cette tangente. 



En résumé, nous avons trouvé m + (m — 2) ou (2 m — 2) cou- 

 ples de droites contenant la droite /. 



Observons que le cône qui a pour sommet le point et pour 

 directrice la courbe G'"^ , fournit (m — 1) transversales de c,, G"'~ 

 et l passant par 0. 



En remplaçant c, par Cj, et par Q, on obtient de cette 

 manière 4 (m — 1) couples de droites situées dans la surface. 



En y ajoutant les transversales de c, et c^, menées par et Q, 

 ainsi que leurs droites associées, on a, eu égard aux couples dont 

 l fait partie, le nombre de (6 m — 4) couples, ce qui s'accorde 

 avec le § 24. 



Le lieu des centres des coniques, situées dans S""', est une courbe 

 d'ordre (4 m — 2), ayant (4 m — 3) points en commun avec l. Parmi 

 ces points se trouvent les (2 m — 2) centres des coniques dégénérées 

 dont l'axe fait partie ; par suite, le milieu du segment OQ sera le 

 centre de (2m — 1) coniques; c'est donc un point multiple d'ordre 

 (2 m — 1) de la courbe des centres. 



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