262 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



Surfaces du degré (< + v + i) avec une droite d'ordre 

 Il et une droite d'ordre v. 



§ 33. Supposons qu'une surface S'''^''^ admette la droite m, 

 d'ordre /<, et la droite n, d'ordre '■'. 



Soit 0'' + '''^'^ une courbe plane située dans la surface. 



Considérons la surface réglée, ayant pour directrices 6', m et 7i. 



L'hyperboloïde déterminé par m, n et la droite arbitraire p, 

 rencontre la courbe C', hors de ses points multiples d'ordre ,«, v en 

 (,u + V 4- 2) points. Par conséquent la surface réglée (C, m, n) est 

 de l'ordre (,« + v + 2). 



Tandis que 6' est une courbe simple de cette surface, m et n 

 sont des droites d'ordres (,u -)- 1) et (v + 1). En efiet, le plan qui 

 unit un point quelconque de m à la droite n, rencontre C, hors 

 de son point v^''", en (,« + 1) points. 



Cherchons maintenant le nombre d'intersections de la surface 



(C, m, n) avec une nouvelle courbe plan D"^' """^ située dans la 



surface /S"' "*"' """^ en écartant les points que D a en commun avec 

 les directrices C', m eu n. 



Comme (<« + v + 1) (.« + •.> + 2) — (,-< + v + 1) — -< (« + 1) — y (v + 1) = 

 = 2 /t V -f- ^ + V -j- 1 = (( V + (h + 1) (v -I- 1)^ nous pouvons énoncer 

 le théorème suivant: 



Une surface d'ordre (,« + v + 1), douée d'une droite multiple d'ordre 

 Il et d'une droite multiple d'ordre v, renferme ^t v + (,u + 1) (v + 1) 

 droites simples, s'appuyant sur les droites multiples. 



Si la surface contient une droite multiple d'ordre X qui rencontre 

 les autres droites multijües, le nombre des droites simples est diminué 

 de X^ unités. 



En effet, une telle droite est aussi une droite multiple d'ordre 

 X de la surface réglée (C, m, n). 



§ 34. Il a été démontré que la surface /S"" "*""■'" ^ peut renfermer 

 (,« + 1) droites simples c qui ne s'appuient pas sur m et n, pourvu 

 qu'on ait a« > v (§ 2). 



Afin de déterminer la configuration formée par les {2iiv + it + v + l) 

 droites a et les (/i + 1) droites c, cherchons le nombre de droites 

 a qui rencontrent m, n et Cj. 



