UN NOMBRE FINI OK DROITES. 263 



L'hyperboloïde ayant ces trois droites pour directrices, a en 

 commun avec la surface encore un lieu du degré (,-< + v + 1) qui, 

 visiblement, se compose de (/« + v h 1) droites; en effet, la généra- 

 trice de {vi,n,Cf) menée par un point de ce lieu, doit être située 

 dans S. 



Parmi ces (,« + v + 1) droites se trouvent les couples de droites 

 s'appuj'ant sur m, n, Cj , c^^. 



Donc, le nombre de droites a qui rencontrent seulement tone 

 droite c, est égal à {n + v + 1) — 2/i = v — ,<« + 1 . 



Puisque ce nombre ne saurait être négatif, on doit avoir ,'< = y 

 ou ,u = /' -i- 1 . 



Alors, on a (," + 1),« droites a dont chacune rencontre deux 

 droites c et (,« + 1) {i' — ,u -t- 1) droites a qui ne s'appuient que sur 

 U7ie droites c. Par suite, il y a ur droites a qui ne rencontrent 

 aucune droite c. 



En particulier, soit v = ,«. 



Alors la surface S"'" "*"' peut renfermer un multilatire gauche formé 

 par (.M + 2) droites c. 



Deux droites c qui ont un point en commun sont rencontrées 

 par une seule droite a; car la transversale de m et n, menée par 

 leur point d'intersection, n'appartient pas à la surface. 



Par suite, le nombre de droites a qui s'appuient sur une seule 

 droite c, est égal à (2« + 1) — 2 (,« — 1) — 2 = 1. 



La surface S^ '^ renferme alors (/i + 2) {n — 1) + {;< + 2) = 

 fi (.« + 2) droites a qui s'appuient sur deux droites c, (/< + 2) droites 

 a qui ne rencontrent qu'une droite c et (.«^ — n — 1) di'oites a 

 qui ne coupent aucune droite c. 



Supposons qu'on puisse faire passer la surface ä'^'^^ par un 

 multilatère gauche composé de (/( + 2) droites c. 



Le nombre de droites a rencontrées par une des droites c, est 

 alors égal à (,« + ;■ + 1) — 2 (i« — 1) - 2 =/■ — /( -i- 1 ; on a donc la 

 condition ii — v^l. 



Si elle est vérifiée, le nombre des droites a, qui s'appuient sur 

 2, 1 ou droites c, est respectivement égal à ,'« (,<( + 2), (/' — ,« + 1) 

 (,u + 2) et (.«/■ — 1 — 1). Le dernier noml)re est égal à (r- — 1), si 

 l'on a ,(( — i' = 1 . 



On obtient la même condition, en observant qu'un (/( + 2)-latêre 

 dépend de (,u + 2) (,« + /' -r 1) des 2,u;' + 3 (u + i' -r 1) paramètres 

 dont on peut encore disposer, si les droites multiples m et 7i sont 

 fixées. 



