264 SUHFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



Surfaces d'ordre (^ + - + ) admettant trois droites 

 multiples, d'ordre i, ,u, i>. 



§ 35. Considérons une surface s'-^'"^'' renfermant les droites 

 multiples l, m, n, respectivement d'ordie l, /i, i>. 



Il va sans dire que la surface *?* ^ " "^ ' renferme toujours (/ + ," + '•) 

 droites rencontrant les droites multiples. En eftet le lieu que la 

 surface a en commun avec l'hyperboloïde {l, m, n) se décompose 

 en (A H- u + r) droites. 



Le nombre des paramètres disponibles est visiblement égal à 



l (1 + Il + r + [){l -h a 4- /' + 2) (;. + n + r + .3) — 1 — 

 ll{l+ 1) (A -f- 3 a + 3 r -h 5) — 1 ,« (/.. + 1 ) (3 ;i -h a + 3 ;■ + 5) — 



\ V {v + 1) (3 ;i + 3 /. + V + 5) = (;. + 1) („ + 1) („ + 1 ) — 1. 



Si l'on a ).-=r^ir= i>^ ce nombre est égal à 



V +%l-'- +Zl — {1 ■\- \)i(M + 1) + [V -l — \). 



Puisque le nombre {)? — A — 1) est positif, il en résulte qu'une 



surfoce S , admettant trois droites d'ordre A, peut encore contenir 

 (A -I- 1) droites arbitraires. 



On peut la faire passer par (A + 2) droites formant un multilatêre 

 gauche. En eflet, on a A^ + 3 A^ + 3 A = (A + 2) 3 A + A (A^ — 2) ; 

 or, comme A> 1, (A'-' — 2) est positif. 



Toutefois, il y a encore une condition qui doit être vérifiée. 

 Puisque la surface contient les couples de transversales de chaque 

 quaterne, formé par une des dioites simples et les droites doubles, 

 et que le nombre total des droites qui s'appuient sur les droites 

 doubles, est égal à (?• + ,« -r v), il faut avoir 



2 (P. + 2) < X + ,u + V. 



En particulier, si l'on a >'- = ," = '■, cette condition se réduit a 

 A>4. 



Supposons maintenant qu'on ait A>,((>r. Afin que la surface 

 d'ordre Q. + ,« + ;■) renfermant les droites multiples /, m, n, puisse 

 passer par (r + 1) droites arbitraires, le nombre 



(yl + ])(,« + l)(r + l) — 1— (<■+ l)(;i-)-,u + r+ l) = À.ui' + A, (-;■■-— i' — l 



doit être positif. 



