UN NOMI5KE KIN! DK DROITES. 265 



Cela exige qu'on ait 



et cette condition est évidemment vérifiée. 



En ol)servant qu'on a lv>^i, puisque A>,'(, on peut affirmer 

 que la surlace S +"''"'■ admet toujours (,< H- 1) droites arbitraires. 



Désignons par y le nombre de droites c situées dans la surface 

 d'ordre (l -r ,« + /) et ne rencontrant pas les droites multiples.. 



Alors la surface renferme visiblement les 2/ droites a qui 

 s'appuient sur les droites l, m, n et sur une des droites c. 



Ces droites appartiennent à l'hyperboloïde, déterminé [)ar les 

 directrices 1,^,71 et ayant en commun avec S '''•" + ' encore un 

 nombre de droites défini par (A -t- « + /' — 2'/). 



Or ce nombre n'est pas négatif si l'on pose / = /« + 1 , puisque 

 I' est au moins égal à deux. 



§ 36. Supposons qu'une surface de degré 3 A, avec trois droites 

 multiples d'ordre A, contienne encore une quatrième droite d'ordre A. 

 Alors le nombre de paramètres disponibles serait égal à 



(A3 + 3 A2 + 3 A) — J A (A + 1) (7 A + 5) = l A [22 — (A - 3)'^] = 



= .lA[6-f(A + l)(7-A)]. 



Donc, pour A < 8, la surface *S" ', peut avoir quatre droites mul- 

 tiples d'ordre A. 



Elle peut passer encore par une droite arbitraire, pourvu qu'on 

 ait A < 5. En effet, le nombre de paramètres disponibles est alors 

 égal à •; (— A^ + 6 r- + 13A) - (3 A + 1) = > [A (A — 1) (5 —A) — 6]; 

 il n'est pas négatif, si A est < 5. 



Si la surface S^ possède quatre droites )J'^"'' 1^,1.,, 1^,1^, l'hyper- 

 boloïde aux directrices l^jl^jl-i rencontre la surface encore en 3 A 

 droites a, parmi lesquelles se trouvent les deux transversales des 

 quatre droites l. En somme, on a donc 4 (3 A — 2) + 2=12A — 6 

 droites simples. 



S'il y a encore une droite c, les droites a se rangent en trois 

 groupes: d'abord on a la deux transversales de Z,, h, l. et l^; 

 puis quatre couples de droites, chaque couple s'appuyant sur la 

 droite c et trois droites l; finalement, il y a quatre groupes 

 de droites qui rencontrent seulement trois des droites /, chaque 

 groupe contenant (SA — 4) droites. 



