266 SURFACES AIXiÉBRlQl'KS RENFERMANT 



Surftices du quatrième degré avec uiic droite double. 



§ 37. Nous avons vu que le lieu des coniques situées dans les 

 plans d'un faisceau {l) et l'encontrées par cinq droites c,, est une 

 surface du huitième ordre. 



Considérons les cas dans lesquels les droites c sont placées de 

 manière que cette surface axiale dégénère en quati-e plans et une 

 surface du quatrième ordre avec une droite double l. 



Or, si les droites /, c^, c,, c.,, c, s'appuient sur une droite aj.,,,^, 

 il faut écarter le plan (^ctiosi)- ^^ ^^^ droites Cj et c, ont un jDoint 

 Pj„ en commun, il faut supprimer le plan (Pj„ /). Supposons, en 

 premier lieu, que l'axe l soit rencontrée par les quatre transver- 

 sales a^„.^^, aj.,y, a^.^j-, a^^^- dont chacune s'appuie sur quatre droites c. 



En observant que a^^„^ remplace les quatre transversales a^.,.^, 

 %v ^iw '^■m coupées par l, on vérifie facilement que les huit cou- 

 ples de droites que la surface doit contenir, forment avec les 

 droites c une configaration représentée par le tableau suivant; 

 on y a écrit à coté de chaque droite c les droites a et h qu'elle 

 rencontre. 



§ 38. Nous n'avons pas besoin d'examiner le cas où il y a les 

 transversales a^.,„^, b^,,^^, a^„^^, a^^^._^, puisqu'alors les droites l, Ci, c.^, c^ 

 appartiennent à un hyperboloïde, faisant partie du lieu, de sorte 

 que la surface S* doit dégénérer. 



Supposons maintenant qu'il y a les transversales a^.^.y, a^,^, a^„^^, 

 et que deux des droites c ont un point en commun II est clair 

 qu'il faut rejeter la supposition que deux des droites c,, Cj, c^, se 

 coupent; de même, il faut rejeter les cas où c^ et Cj coupent une 

 des droites c,, Cj. Puisque c.,, c^. Cj sont équivalentes, il suffit de 

 supposer que les droites c^ et c^ se croissent en un point P^j. 

 Alors la surface contiendra seulement une des transversales de 



