272 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



On démontre facilement que cette surface contient seulement 

 quatre couples de droites s'appuyant sur l, savoir (a^.^., &.,j), 

 (^u5' ^23^' (%5' ^iù> f^^aiv ^13^' t^"^i^ q^'1'3 le plan (Za.^,.,^.) rencontre 

 /S* en une conique decomposable dont les droites sont confondues 



Il en résulte que le nombre de couples ne peut pas être déduit 

 de l'expression {3n — 4) ; au contraire l'équation 3« —8 = 4 fournit 

 n = 4, de sorte que a^,,^^. est une deuxième droite double de la 

 surface qui paraît être du quatrième ordre. 



Il en suit que cette surface renferme quatre couples de droites 

 rencontrées par aj„.,^-; on pourrait les désigner par c^, c^; c^, c^ ; 

 C5, Cg et Cy, c'g. 



§ 48. Désignons maintenant les droites doubles par / et A; 

 soient {a^, b^ les quatre couples de droites qui s'appuient sur l; 

 soient («^., /:?,) les couples rencontrés par A. 



On peut choisir la notation de manière que les droites rencon- 

 trées par (c ^ s'appellent a^, a,; <^3> (^k- 



L'hyperbolo'ide (A a, a,) contient la droite double l et la droite 

 simple «j ; il renferme encore une droite de S^ qui sera désignée 

 par «,, . Cette droite ne peut couper ni «.,, ni a^; en effet, si «, 

 s'appuyait sur ofj, l'hyperbolo'ide {l«i «2) f''-ii''i'it en commun avec 

 Ä* deux fois les droites /, A et encore les cinq droites «^ , «,> ^1 > ^2» <*3> 

 ce qui est impossible '). 



Par suite, la droite u^ rencontre les quatre droites a,, a,, ^3, b,^. 



D'une manière analogue, on démontre que l'hyperboloïde {la^a.^) 

 marque sur a"" une droite a.^, s'appuyant sur b.,, b^, et que 

 l'hyperbolo'ide {Xa^a^) fournit encore la droite u^, rencontrée 

 par b^ et 63. 



Maintenant on peut dresser le tableau provisoire suivant: 



b, b, 

 b., ^ 



') En général, on peut affirmer qu'il est impossible que trois droites du 

 système {a, b) soient rencontrées par deux droites du système («, ß). 



