282 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT 



Il y a visiblement quatre droites a qui ne rencontrent aucune 

 droite c. 



Si Co et C.J ont un point en commun, la droite b,^ sera remplacée 



par deux droites b., et ^^3. 



§ 61. Supposons maintenant que les droites doubles m et w 

 soient rencontrées par une troisième droite double p ; alors il y a 

 encore neuf droites a s'appuyant sur m et n. 



Puisqu'une droite double absorbe 16 paramètres, tandis que deux 

 droites doubles qui se rencontrent, absorbent 27 paramètres, la 

 surface S^ renfermant les droites doubles m, -p, n, peut passer 

 encore par 17 points. Supposons donc que S'^ renferme encore quatre 

 droites c,, c,, c.^, c^ qui s'appuient sur p. 



Alors l'hyperboloïde (m, ^,01) rencontre S^ en Cj et deux fois 

 en chacune des droites m, n, p; par suite, il a en commun avec 

 S^ encore trois droites qui s'appuient sur m et n. Il est clair que 

 ce sont les transversales a^,,, a^.-^, a^^ que c^., c^, c^ déterminent 

 respectivement avec m, n, Cj. 



Par conséquent, on a le tableau : 



Il y a trois droites a qui s'appuient sur m, n et ne rencontrent 

 aucune droite c. D'ailleurs la surface contient encore deux droites 

 simples r et s situées respectivement dans les plans (p, m) et (p, n). 



§ 62. Supposons maintenant que la surface -5"^, avec les droites 

 doubles m, w, p, passe par trois droites c,, Cj, c^ qui ne rencontrent 

 aucune des droites doubles ; il en lésulte qu'elles doivent s'appuyer 

 sur les droites r et s que S^ a en commun avec les plans (p, m) 

 et (p, n). Cela revient à dire que Cj et c, sont tout-à-fait arbitraires, 

 tandis que c.^ doit couper les droites r, s qui sont déterminées 

 par c, et c^. 



On arrive facilement à ce tableau 



