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Surfaces du cinqiii(>me degré avec quatre droites doubles. 



§ 63. Soient m, p, n, q les côtés d'un quadrilatère gauche. Une 

 surface S'^ ayant ces côtés pour droites doubles, peut passer encore 

 par onze points arbitraires, ou bien par utie droite arbitraire c 



Puisque les droites doubles m, n sont rencontrées par les droites 

 doubles p, q, il n'y a que cinq droites a s'appuyant sur m, n ; de 

 même il y a cinq droites b qui rencontrent les droites doubles p, q. 



L'hyperboloïde déterminé par les directrices m, n, b^^ renferme 

 les droites doubles p, q ; par conséquent il ne contient qu'une seule 

 droite a, . 



Donc, chaque droite a coupe une droite b. 



L'hyperboloïde (m, n, c) a en commun avec S^ un lieu du cinqui- 

 ème degré, qui visiblement se compose de cinq droites a. De même, 

 la droite c s'appuie sur les cinq droites b. 



Finalement, la droite c rencontre les quatre droites de S'' qui 

 se trouvent dans les plans {m, p), {p, n), {n, q) et {q, m). 



Surfaces du sixièuie degré avec une droite quadruple. 



§ 64. En partant de nouveau de la sui'face axiale S^, lieu des 

 coniques qui s'appuient sur cinq droites c et, deux fois, sur l'axe 

 l, on arrive, en supposant des positions particulières des droites c, 

 aux types suivants de surfaces S'', avec la droite quadruple l. 



Transversales a^...^, a^os^- 



%m ^1235 «124 «125 «134 «1.35 «145 ^45 ^15 ^14 ^13 «13 ^12 «12 



«1234 «1235 «124 «125 ^25 ^24 ^23 «23 «234 «235 «245 ^245 ^2 «12 



«1234 «1235 ^35 ^34 «IM «135 ^23 «23 «234 «235 ^13 «13 «345 ^Î45 



«1234 K «124 ^34 «134 ^24 «IK. ^145 «'^M ^14 «24-5 ^245 «345 ^.345 



h «1235 ^35 «125 ^25 «135 «145 ^45 ^15 «235 «245 ^245 «345 ^345 



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