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les faces, les espaces limitants, etc. Ainsi le nombre des constantes 

 dont dépend P„, terme n-ième de la série indéfinie „segment de 

 droite", „parallélogramme", „parallélipipêde", etc., équivaut au 

 nombre des constantes dont dépend le simplexe S {n + 1), terme 

 M-ième de la série également indéfinie „segment de di'oite", „triangle", 

 „tétraèdre", etc. On en déduit que le nombre des constantes de 

 P„ est ^n{n + 1). 



2. En faisant parcourir à tout point d'un parallélotope Pg de 

 l'espace Eg des segments de droites équipollenls dans une direc- 

 tion nouvelle, obtenue en joignant un point de Eg, p. e. le sommet 

 S de Pg, h un point quelconque T hors de Eg, on engendre un 

 parallélotope Pg+i de l'espace Eg+i déterminé par Eg et le point T. 

 Dans cette génération chaque élément limitant P,. de Pg engendre 

 un élément limitant Pr+i de Pg+i et se présente lui-même en deux 

 positions diflerentes, la position originale et la position finale. 

 Donc, si 91,.,^ représente le nombre des parallélotopes limitants 

 P, de Pg, on a la relation récurrente 



u,..^+i = n,-i,g + 2nr^g , 



ce qui fait trouver que le nombre w,, , est représenté par (q),. 2*"'', 

 {q)r désignant comme d'ordinaire le r-iême coefficient binomial 

 de la puissance q. 



En remplaçant les n espaces limitants E„_i passant par un 

 sommet S de P„ par les autres n espaces limitants R,,-! on trouve 

 de nouveau n espaces i2„_i passant par un sommet, le sommet 

 opposé S' de S. Ainsi les 2" sommets forment 2""' couples de 

 sommets opposés. Seulement les 2"~^ droites joignant deux sommets 

 opposés sont des diagonales de P„ qui en traversent le volume 

 «-dimensional et ne se trouvent donc pas dans un des 27i espaces 

 limitants i2„_i. On voit sans peine que ces diagonales passent par 

 un même point. En effet, les points qui se trouvent à distance 

 égale des deux espaces Rn-i d'un couple d'espaces R,i-i limitants, 

 sont situés dans un espace R,i i parallèle; donc le point d'inter- 

 section des n espaces i?„_i bisecteurs des n couples d'espaces i2„_i 

 parallèles est le point milieu commun de toutes les diagonales, 

 le centre du parallélotope. 



Ici nous entendrons sous „diagonale" d'un P„ exclusivement 

 les droites par le centre joignant deux sommets opposés. 



Dans cette petite étude nous nous proposons d'aborder la ques- 

 tion des relations de dépendance entre les 2"~^ diagonales d'un 



