DIAGONALES DES PARALLÉLOTOPES. 



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Fig. 1. 



P„. Pour m > 4 le nombre clés diagonales surpasse celui des con- 

 stantes; donc ces relations existent. Seulement pour connaître 

 d'avance le nombre des relatiims indépendantes entre elles, il 

 nous faut développer d'abord un théorème général dont les cas 

 particuliers les plus simples sont assez connus. 



3. Pour le parallélogramme et le parallélipipède on a le théorème: 

 „La somme de.s carrés des diagonales est égale à la somme des 



carrés des arêtes". 



Ce théorème est de rigueur pour tous les P,,. Nous le prou- 

 vons à l'aide de la propriété connue 

 de la médiane d'un triangle, toutefois 

 en appliquant la conclusion de ç à 

 ç -H 1. Soit S S' (Fig. 1) une diagonale' 

 d'un des parallélotopes limitants P,^ à 

 centre M d'un parallélotope P,+i à 

 centre 0; soient a,, a^, ... a les lon- 



' 1' .» q 



gueurs des q groupes de 2''"^ arêtes 



égales de P^ et a,^+i = 2 OM l'arête nouvelle de Pr^+i. Alors on a 



SO^ +S'0^ =SM'- +>S'if2 +{al+i ; 



donc, en prenant la somme par rapport à toutes les diagonales 

 SS' de Pq, on trouve 



où ^ d'^ et - d- désignent les sommes des carrés des diagonales 

 de Pq et de Pq+i. Donc la supposition 



2'd2 — 2î-i {al -h a: + .. .0^) 



q 



que le théorème s'applique à Pq, amène la relation 



^ d- =2" {al + a: + . . . + a^ ) 



q+l 



qui exprime qu'il s'applique tout de même à P,+i- Comme il vaut 

 pour le parallélipipède, il vaut pour le parallélotope quadridimen- 

 sional, etc. 



4. On a encore le théorème général suivant: 



„Quand on connaît les longueurs des arêtes et des diagonales 

 d'un parallélotope, cette figure est déterminée d'une manière 

 univoque." 



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