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SUR LES RELATIONS ENTRE LES 



En effet, on démontre tout de suite que la connaissance des 

 ai'êtes et des diagonales équivaut à la connaissance de toutes les 

 droites de jonction des 2" sommets entre eux. Ainsi, en appliquant 

 le théorème du numéro précédent à tous les parallélogrammes 

 formés par deux arêtes opposées de P^ , on trouve les diagonales 

 de tous les P„_i limitants; alors de chacun des 2n P„-\ on con- 

 naît les arêtes et les diagonales, ce qui permet de trouver de la 

 même manière les diagonales de tous les P„_o limitants, etc. 



5. Ce qui précède nous permet de déterminer le nombre des 

 relations indépendantes entre les 2"~^ diagonales d'un P„. 



Supposons qu'on connaît les n arêtes a,, a2 , . . . a,;; alors P„ sera 

 déterminé par \n[n + l) — n^=\n(n — l) autres constantes en 

 rapport avec P„. Donc à côté de la relation 2d^ :=2'a' il existe 

 2"~^ — jn {n — 1) — 1 relations indépendantes entre les diagonales. 

 Et comme le montre la considération de deux parallélotopes sem- 

 blables, ces relations indépendantes sont nécessairement homogènes 

 dans les d. 



Donc à côté de la relation ^cZ^ =:2:a^, on trouve pour les va- 

 leurs suivantes de n un nombre p de relations homogènes indiqué 

 par le petit tableau suivant 



n.... 4 , 5 I 6 i 7 , 8 i 9 I 10 



P 



FiG. 2. 

 les huit sommets de ce 



16 I 42 I 99 I 219 i 466 



Il nous reste à indiquer ces 

 relations homogènes dans les 

 cas les plus simples. 



6. Dans le cas n = 4 il s'agit 

 de trouver une relation unique ; 

 c'est encore la formule de la 

 médiane qui nous la procure. 



Soient A^,A^,..A^ (Fig. 2) 

 X les sommets d'un parallélipi- 

 pède P;j à centre dont les 

 arêtes A^ A^, A ^ A-^ , ^1^4 

 par A^ ont les longueurs a,, 

 a^, a^, et représentons par P 

 le centre d'un parallélotope P ^ 

 dont P., est un des huit paral- 

 lélipipèdes limitants. Divisons 

 deux groupes de quatre points 



