DIAGONALES DES PARALLÉLOÏOPES. 399 



(ylj, Ar^, Jß, Ay) et {A._, ^.5, A^, A^) de maniere que deux 

 points d'un même groupe ne se trouvent jamais sur une même 

 arête. Alors ces deux groupes de sommets non contigus de P^ 

 vérifient par rapport au point P la relation 



PAl + PÀ; -i- pa; + PÄi = PÄ: + PÀ\ + PÄ\ + PAl. . 1) 

 En effet, en appliquant la formule de la médiane, on trouve 

 PA\ + PAI = 2PQ" + \A^aI j 

 PÄI + PA: = 2P/î' + \A^À] ( 

 2 (PQ' + PFC) — 4P0' 4- a' i 

 )r {AiAr.^ + A^A\) — cC,-^ CL^ 1 



Donc, eu égard à l'égalité A^^A.^ = A^A^, l'addition donne 



PÀ: + PÄI + PJ' + PÄ: = 4P0' + a' + a' + a^. 



De la même manière on trouve pour le second membre de l'équa- 

 tion 1) la même valeur; donc la relation 1) est démontrée. 



En supposant que le point P est un point quelconque de l'es- 

 pace tridimensional de P^ on trouve chemin faisant le théorème: 



„Si les sommets de deux tétraèdres T, T' forment les quadruples 

 de sommets non contigus d'un parallélipipède, la somme des carrés 

 des distances d'un point quelconque P aux sommets de T équivaut 

 à la somme des carrés des distances de ce même point P aux 

 sommets de T.'' 



On démontre de la même manière que plus généralement deux 

 tétraèdres T, T' jouissent déjà de la propriété exprimée par l'équa- 

 tion 1), quand ils ont le même centre de gravité et la même somme 

 des carrés des arêtes. ') 



Dans le cas général, où P est le centre d'un P^ dont le paral- 

 lélipipède aux huit sommets A-, est un des corps limitants, la 

 relation 1) multipliée par quatre nous donne la relation homogène 

 cherchée entre les longueurs des huit diagonales. Nous l'expri- 

 mons dans la forme suivante : 



„La somme des carrés de quatre diagonales non' contigues d'un 

 P^ est égale à la somme des carrés des quatre autres diagonales''. 



Dans cet énoncé quatre diagonales non contigues d'un P,, sont 



') Il y a un rapport intime entre les considérations précédentes et quelques 

 théorèmes de Steiner (voir „gesammelte Werke", tome II, p. 107, annotation). 



