402 SUR LES RELATIONS ENTRE LES 



Donc le système des 12 relations 2,- revient à celui des quatre 

 équations 2,, '2,^, 2^, 2^, indépendantes entre elles. 



On trouve, toujours à l'aide du théorème de la médiane, la 

 cinquième relation cherchée. Les deux groupes 



{Al, Aq, A-j, An, Ay, ^10, ^n- ■'^lo) , (^-2, ^a, ^4, ^5 r ^12, ^13, ^u^ Ah) 



de sommets non contigus fournissent immédiatement la relation 



PAl A- PÄI+ ... + F Al = PÄ; + PAl-^ ... + P4,>-- 3) 



qui se transforme en une relation entre les seize diagonales de 

 P5 en la multipliant par quatre. Et cette relation unique doit 

 être indépendante des 12 équations 2^; car dans une équation 2; 

 deux sommets opposés du parallélotope limitant P^ figurent tou- 

 jours en deux membres difierents, tandis qu'en 3) ces sommets se 

 trouvent toujours dans le même membre. 



Remarquons encore que la relation 3) entre les seize diagonales 

 de P5 se déduit aussi de chacun des quatre couples d'équations 

 analogues aux douze équations 2,- en rapport avec les quatre cou- 

 ples de parallélipipèdes limitants opposés du P,, considéré. En 

 effet on a dans la notation employée plus haut 



(1,6, 7, 9) - (2,3,4,12) , (8,10,11,16) = (5,13,14,15) , j 



(1 6, 8,10) :- (2,3,5,13) , (7, 9,11,16) --= (4,12,14,15) , / ^. 



(1,7, 8,11) =: (2,4,5,14) , (6, 9,10,16) = (3,12,13,15) , \" ' 



(1,9,10,11) = (3,4,5,15) , (6. 7, 8,16) = (2,12,13,14) . ; 



En ajoutant membre à membre les deux équations qui se trouvent 

 sur la même ligne, on retrouve quatre fois de suite la relation 3) 



Pour combien d'équations indépendantes comptent les huit équa- 

 tions 4)? On voit tout de suite de nouveau que ce nombre ne 

 surpasse pas cinq, parce que les quatre couples de relations ont 

 mené au même résultat 3). D'une autre part on trouve qu'elles 

 renferment les douze relations 2»; on fait reparaître ces douze 

 équations en combinant chacune des quatre équations 4) à gauche 

 avec les trois équations 4) à droite qui ne se trouvent pas avec 

 elle dans la même ligne. Donc les équations 4) équivalent à cinq 

 relations indépendantes entre elles; on obtient un tel système de 

 cinq relations en omettant trois des quatre équations à droite. 



8. Considérons encore de plus près le cas 71 = 6, où il s'agit 

 des distances doubles d'un point quelconque F de l'espace E^ aux 



