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SUR LES RELATIONS ENTRE LES 



tous les parallélipipêdes dont huit des 32 sommets du P^ limitant 

 (Fig. 4) sont les sommets ; en efltet, les droites, qui joignent les 

 huit sommets de chacun de ces parallélipipêdes au point P, sont 

 les moitiés de huit diagonales de P,., liées par une relation de la 

 forme i). 



En indiquant par a, h, c, d, e les directions des arêtes 12, 13, 

 14, 45, 16 on voit tout de suite qu'à chaque triple a&c, a6d, ... cde 

 de ces directions il correspond un quadruple de parallélipipêdes, 

 qui fournissent les 40 relations suivantes: 



7, 8, 11)^ 



7, 9, 12) -■ 

 7, 10, 13) ■■ 



8, 9, 14) 

 8,10,15): 

 9, 10, 16) ' 



11. 12. 14) ■■ 



11. 13. 15) 



12. 13. 16) 

 14, 15, 16) ■■ 



(2,3,4, 7) 

 ■■ (2, 3, 5, 18) 

 ■■ (2, 3, 6, 19) 

 ■ (2, 4, 5, 20) 



(2, 4, 6, 21) 

 : (2, 5, 6, 22) 

 ■■ (3, 4, 5, 23) 

 = (3,4,6,21) 

 ' (3, 5, 6, 25) 



(4, 5, 6, 26) 



(9, 12, 14, 27) ■■ 

 (8,11,14,27): 

 (8,11,15,28): 

 (7,11,12,27)^ 

 (7,11,13,28): 

 (7, 12, 13, 29) : 

 (7, 8, 9,27): 

 (7, 8,10,28): 

 (7, 9,10,29): 

 (8, 9,10,30): 



: (5, 18, 20, 23) 

 : (4, 17, 20, 23) 

 = (4, 17, 21, 24) 

 = (3, 17, 18, 23) 

 = (3, 7,19,24) 

 : (3, 18, 19, 25) 

 = (2,17,18,20) 

 = (2,17,19,21) 

 = (2, 18, 19, 22) 

 : (2, 20, 21, 22) 



(10, 13, 

 (10, 13, 

 ( 9, 12, 

 (10, 15, 

 ( 9, 14, 

 ( 8, 14, 

 (13,15, 

 (12, 14, 

 (11,14, 

 (11,12, 



15, 28)= 

 16,29)= 

 16,29)= 

 16,30) = 

 16,30)= 



15.30) = 

 16,31)= 



16.31) = 

 15,31) = 

 13,31)= 



:(6,19,21,24) 

 :(6, 19,22,25) 

 :(5, 18, 22, 25) 

 :(6,21,22,26) 

 :(5, 20, 22, 26) 

 :(4,20,21,26) 

 (6, 24, 25, 26) 

 (5,23,25,26) 

 (4, 23, 24, 26) 

 (3,23,24,25) 



(16, 29, 

 (15, 28, 

 (14,27, 

 (13,28, 

 (12,27, 

 (11,27, 

 (10, 28, 

 ( 9,27, 

 ( 8,27, 

 ( 7,27, 



30, 31)= 

 30,31) = 

 30,31)= 

 29,31) = 

 29,31)= 

 28,31) = 

 29,30) = 

 29,30) = 

 28,30) = 

 28,29)= 



(22,25, 

 (21,24, 

 :(20,23, 

 (19,24, 

 (18, 23, 

 (17,23, 

 (19,21, 



:(18, 20, 



(17,20, 

 (17, 18, 



26, 32) 

 26, 32) 

 26, 32) 

 25, 32) 

 25, 32) 

 24, 32) 

 22, 32) 

 22, 32) 

 21,32) 

 19, 32) 



En ajoutant membre à membre les quatre équations d'une même 

 ligne on obtient dix fois le même résultat, qu'on peut exprimer 

 dans la forme suivante: 



„La somme des carrés de seize diagonales non contigues d'un P^ 

 est égale à la somme des carrés des seize autres diagonales". 



En indiquant par {a, h) la 6'""'^ équation de la a''""'^ colonne on 

 trouve entre les 30 équations des premières trois colonnes et la 

 première équation de la quatrième colonne, les rapports suivants : 



(1,1) + (2,1) = Cl, 2) 

 (l,l) + (3, 1) = (1,3) 

 (1,2) + (3, 2) = (1.3) 

 (1,4) + (3, 4) = (1,5) 

 (1,7)-4-(3,7) = (l,8) 



(2,2) = (1,4) + (2,4) = (1, 7) + (2, 7) \ 

 (2, 3) = (1,5) + (2, 5) = (1, 8) + (2. 8) i 

 (3, 3) = (1,6) + (2, 6) = (1, 9) + (2, 9) , 

 (3,5) = (1,6) + (3,6) = (1,10) + (2,10) \ 

 (3, 8) = (1,9) + (3, 9) = (1,10) + (3, 10) 



Donc les équations 



(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10) 

 (2,1), (3,1), (3,2), (3,4), (3,7), (4,1) 



forment un système d'équations indépendantes entre elles. 



9. Terminons par quelques idées générales par rapport au cas 

 d'un n quelconque. 



On trouve sans peine les théorèmes suivants: 



