408 LA SURFACE CUBIQUIÎ DE RÉVOLUTION. 



à l'axe tout près de ce point, vu que la troisième tangente d'in- 

 flexion doit être normale à l'axe et que la courbe coupe cette 

 tangente en le point d'inflexion. Le troisième point d'inflexion se 

 trouve donc à l'infini dans la direction normale à l'axe. La 

 troisième tangente d'inflexion est une des trois asymptotes; aussi 

 elle est perpendiculaire à l'axe. 



3°. Les deux autres asymptotes doivent se couper sur l'axe et 

 faire avec lui des angles égaux. 



4°. Les tangentes des points d'intersection de la courbe avec 

 l'axe sont perpendiculaires à l'axe et passent donc par le point 

 d'inflexion à l'infini. Par conséquent, l'axe est la polaire harmo- 

 nique du point d'inflexion à l'infini et les points de rencontre de 

 la courbe avec l'axe sont des points sextactiques. 



5°. Les deux autres polaires harmoniques doivent avoir l'axe 

 pour bissectrice. 



Pendant la rotation de la courbe méridienne autour de l'axe 

 la troisième point d'inflexion décrit la ligne à l'infini des plans 

 perpendiculaires à l'axe. Chaque plan normal à l'axe coupe donc 

 la surface en un cercle et en la ligne à l'infini. 



Les coupes perpendiculaires à l'axe qui passent par les trois 

 points d'intersection de la surface avec l'axe, sont dégénérées en 

 la ligne à l'infini et en les deux droites isotropes passant par les 

 points de rencontre avec l'axe 



Si la surface n'est pas réglée, aucune ligne réelle dans l'espace 

 fini ne peut être située sur elle. 



En eflPet, aucune autre ligne, exceptés l'axe et la ligne à l'infini 

 des plans normaux à l'axe, n'est symétrique par rapport à lui. 

 Les seules lignes imaginaires symétriques par rapport à l'axe sont 

 les couples de lignes isotropes perpendiculaires à l'axe qui se 

 coupent sur lui. 



Il y a trois coupes normales à l'axe consistant, outre de la 

 ligne à l'infini, de deux lignes isotropes. 11 ne se trouve donc 

 sur la surface que six différentes lignes imaginaires. 



Dans la ligne à l'infini des plans perpendiculaires à l'axe sont 

 situés les deux points circulaires I et J, où les six lignes isotropes 

 de la surface se rencontrent. Evidemment I et J sont des points 

 doubles. 



Les trois lignes isotropes passant par / se trouvent dans le 

 plan mené par I et l'axe. Les trois autres lignes de la surface 

 qui concourent en 7, coïncident avec la ligne à l'infini. J et J 



