LA SURFACE CUBIQUE T)K RKVOF.UTION. 413 



U., = Jxi X3 4- Bxi «4 , 



f/4 = Z?x, Xj + x^ — 2/(;a;.j x,, . 



L'équation de la première surface polaire du point {zi,z.^,z.^,z^)cst: 



U,z, ^ U,z, + U,z, + U,z,=(), 

 ou 



X2 i-^x-i + Bxt^)z^ H-x, {Ax^ + Bx^) 0, + (2a;.( a;^ — hx^ + AxiX2)z^ + 

 + (a;|; - 2Ä;a;3 a;^ -h i?a;i Xj) 0,, = (1) 



Pour le point J (z, =0, 0.3 =0, s^ =0) cela devient 

 x^ (Ax^ + Bx^) = 0. 



La première surface polaire de / est donc composée de deux 

 plans, savoir le plan joignant J à l'axe et le plan d'inflexion. 



Ce sont donc les deux plans tangents du point biplanaire J. 

 Il paraît que l'un des plans, qui n'était pas déterminé auparavant, 

 coïncide avec le plan d'inflexion. 



Un point sur la ligne à l'infini (23=0, z^t=Q, z, ^zpz^) a 

 pour première surface polaire : 



(px^ + x,) (^^3 -H Bx^) = 0. 



Cette surface est donc composée, outre du plan d'inflexion, du 

 plan x, ■+-px2'-=0, qui est le conjugué harmonique du plan 

 .T, — px., =0, où est situé le pôle, par rapport aux plans a;, = 

 et X, =0. 



Or, x^ ■=() et Xo==0 sont les plans doubles imaginaires de 

 l'in volution orthogonale de plans passant par l'axe. Les plans 

 x, -h px^ ^=0 et X, —px^ = sont donc perpendiculaires entre eux. 



Nous aurions encore pu obtenir ce résultat, d'une manière fort 

 simple, par voie de géométrie. Il ne nous fallût que considérer, 

 que la première surface polaire coupe la surface donnée suivant 

 la courbe de contact du cône tangent. 



Il est clair que le cône tangent mené d'un point de la ligne 

 »3 = 0, a;^ = est un cylindre, dont les génératrices sont perpen- 

 diculaires au plan de la courbe de contact. A ce cylindre appar- 

 tient aussi le plan d'inflexion. 



La première surface polaire du point A (zj =0, z., =0, «3 =0) 

 a pour équation : 



