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LA SURFACE CUBIQUE DF, REVOLUTION. 



Xg 2^3 X|^ + Bx^ x^-=0 . 



Evidemment elle est une surface quadratique de révolution, 

 qui coupe l'axe en le point A (a;, ^= Q, x., ^= 0, a;^ = 0) lui-même 

 et de plus en le point JS'(.Xj :=0, a;, =0, x, = 2kx,^). 



Nous en concluons que, A et E étant harmoniquement conjugués 

 à ß et C, les plans a^^ = et x. = 2kx^ sont harmoniquement 

 conjugués aux plans a;^ ^ et x^ = Icx^. 



La première surface polaire du point ^(zj =: 0, z,, =0, z^ =0) 

 a pour équation: 



2x-^ x^ — kx2 + Axi 0-2=0. 



Elle est de même une surface quadratique de révolution, et 



coupe l'axe en les points ^ (a;j ^ 0, ajj = 0, x,^ = 0) et F (a^j = 0, 



k 

 ^2 = 0, x.^ = -^x^). Or B et i^ sont harmoniquement conjugués 



k 

 à .4 et C, donc les plans a;^ = et a;^ =:-;^ aîj sont harmonique- 

 ment conjugués aux plans a;^ = et .^3 =: kx^. 



L'équation de la première surface polaire du point C (z, = 0, 

 ^2 =0, z^ ^ kx^) est: 



k (2x3 a;,, — kx''^ + Ax^ x.^) + (a;^ ^ 2^X3 x^ + Dx^ x.J — 



(.Tg — k~ xl) -h (kA + ß) .T, a:2 = . 



Cette surface quadratique de révolution coupe l'axe en les points 

 6'(:c, =0, «2 = 0, a;3 = kx^) et G (.r, =0, a;^ = 0, x^ ~ — k.i\). 



C et G sont harmoniquement conjugués à A et B. Les plans 

 3:3 = kx^ et x.^ ■= — kx^ sont par conséquent harmoniquement 

 conjugués aux plans 3:3 — et x^-=0; ce que l'on aurait pu 

 reconnaître iinmédiatement. 



L'équation de la surface de Hesse s'écrit: 



Un U,, Ur, Uu ' 



U\2 U20 t/23 c/24 

 t^is U23 U-Q C/34 



Uu U., U-^ Uu 



= 0. 



C7n=0, [7i2=^ a; 3 + i?a; 4, Uin=Ax,, 



Uio=Ax.^ + Bx^, C/oo=0, C/o3=^Xi, 



Uxz—Ax^, 

 Uu=Bx2, 



a,:—Axi, 



U.2i=Bxi, 



U,,=2x„ 

 f/s.=2x,- 



■'2kx, 



Uu=Bx.,, 

 U2i=Bxi, 



U:,,i—2x.,-2kx^ 

 U,i——2kx^. 



