= 0. 



LA SURFACK GUI3IQCK DE KKVOLUTION. 415 



L'équation de la surface de Hesse devient donc: 



Ax■^ + Bx^ Ax^ Bx^ I 



Ax-^ + Bxi, AXi Bxi 



Ax^ Axi 2x^ 2x-^—2kx^ 



Bx^ Bxi '2a;., — 2kxi^ — 2kXi \ 



Ce déterminant étant calculé, il vient : 



4 {Ax.^ -t- Bx^) I {Ax^ + Bx^) (a;^ — kx.^ x^ + k- x\) — 



— j A {Ak + IB) X,, —B{2Ak+B)xJx^ x., | = . . , (2) 



Cette surface biquadratique est composée de deux parties : 



1° le plan d'inflexion, 



2° la surface cubique de révolution définie par 



\A{Ak + 2B)x^ ~ B{2Akh B)x,^x, x.,— 



— {Ax.^ + BxJ {xt^ — kx.^ x^ + k~ x^) = . . . (3) 



En efïet, l'équation 



{Px.^ + 0«,,) •'■, x.^ + Rx'l + Sxtx^ + Tx.^ x\ -H Ux\ — 



représente une surface cubique, qui a les points (x, =r 0, a;., ~ D, 

 a;^ ^=0) et (.a;, ~ 0, x-j =0, .f,^ =0), donc les points circulaires I 

 et ,ƒ, pour points biplanaires; cette surface est donc de révolution. 



Dans la suite nous désignerons cette surface par H ^, la surHice 

 donnée par O^. 



H-i coupe l'axe 



i ^\ ~ *J 

 1° en le point a;, = 



\ Ax.^ + Bx^ =0; 



2° en deux autres points, situés dans deux plans dont 

 l'ensemble est représenté par 



ajg — kxj^ x^ + fc^ a;^ = , 



donc dans les plans: 



x-^ + a kx^ ^ et a;., + «- kx^ ^= , 



a et «~ étant les racines cubiques imaginaires de 

 l'unité positive. 



Si les points A et B sont réels, c.-à-d. si a;^ — et x,, = 

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