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416 LA SURFACE CURIQUK DE RÉVOLUTION. 



représentent des plans réels, k est aussi réel; en ce cas les plans 

 x-^ + « k.>\ = et 3:., -+- «2 kxn ■= sont imaginaires. 



L'équation du plan d'inflexion de H.^ est 



A (Ak + 2B) X., ^ B{2Ak + B) x, = . 



Evidemment ce plan est la seconde surface polaire (donc le 



plan polaire) du point D i x.^—0 j par rapport à 0.^. 



^ [ Ax., + Bx,^ = ^ 

 En effet, en substituant x^ — 0, x.^ — 0, Ax.^ + Bx^ = dans 

 l'équation (1) de la première surface polaire de {z^, z^, z-^, zj, on 



obtient 



A{Ak + 2B) z,, - B i^Ak + B)z,^= 0. 



0^ a en commun avec H.^ 



1° la ligne à l'infini f i "^ ~ „), 



2° une coui'be gauche du &™'' degré composée de quatre cercles 

 (le lieu des huit points d'inflexion finis des méridiens). 



Les quatre plans, où se trouvent ces quatre cercles, se présen- 

 tent si nous considérons le faisceau de surfaces cubiques, dont 

 O3 et H^ sont deu-x éléments. A ce faisceau appai'tient l'ensemble 

 d'une surface quadratique de révolution passant par trois des 

 quatre cercles qui avec (x.. = 0, .r,, = 0) composent la courbe de 

 base, et d'un plan contenant le quatrième cercle et (3:3 =0, x^ — 0). 



Nous pouvons donc établir l'équation 



[(^a;^ + B.i\) (xl - kx., x.^ + k'- x^ ) — A (Ak 4- 25) .Tj x^ x., + 

 + B{2Ak-r B)x^ x^ .T4] +X\_Ax^ x^ x.^^Bx^ irj .^•4+.rï;.T, — fcxaX^] = 

 = ,a {x^ + pa; J (ce, Xj + qxl ■+- rx^ x^ + sxl) ; ') 



d'où résulte: 



— A{Ak-h2B) + lA = u, 

 B{2Ak + B) + lB = ^ip, 



A=: !^q, 

 B — kA+X = f,{r + pq), 

 k^- A — kB — Xk = /< (s -i- pr), 

 Bk- = fips. 



') L'équation x, x^ + qx\ -\- ra-j «4 -|- sa;J = 



représente une aurftice quadratique de révolution, puisque chaque plan x-s = te« 

 normal à la droite (x, r= 0, a^i = 0) coupe la surfcice suivant une conique passant 

 par les points circulaires (x, ^0, x^^Q, 0:4=0) et (x^^iO, 0:3 :=0, 054 =0), 

 donc suivant un cercle, qui a le centre sur la droite (Xi =0, 3:2 :=0), 



