418 LA SURFACE CUBIQUE DK RÉVOLUTION. 



nous obtenons 



Ay^ + {c + B — 2mA) y'^ + {m''- A - ck — 2mB) y + m- B = 0. 



Afin que la droite a, x^ ■+- a.^ x. -^ aiXi ~ soit tangente d'in- 

 flexion, il faut que l'équation précédente ait trois racines égales. 

 Ainsi on a les conditions 



G + B — 2mA __ m- A — ck — 2mB _ 'èm^ B 



33 ~ c^^ — ^ImÂ ~ 'm^~A—(à'^2m'B~ " 



De ces équations c doit être éliminée. On trouve 



{G + B — 27nAy = 3A{m^ A - ck - '2mB) 



(c -h B — 2mA) (m'^ A - ck — '-lmB) = ^ m^ AB 



d'où l'on tire en multipliant: 



[c + B — 2mAY — 21m-'A^B. 

 {c -h B — 2mA) (m^ A — ck — 2mB) =dm- AB 

 (m2 A- ck — -2mB)' = 3m^B{G-hB — 2mA) 

 par multiplication il vient: 



(m^ A - ck — 2m Bf - 27 m* AB'-. 

 Ou a donc ensemble : 



\c + B 2m AY = 21 m'' A'- B | 

 \m'^ A- ck- 2m BY = 21 m' AB'- \ 

 ou 



kc -h Bk - 2m Ak = 3/fc •^"'wTTTB 

 — kc- 2mB + m-' A= 3 ^mFAB^ 



B {k - 2m) + Am{m 2k) = Sk ^"m^ A^ B -^ 3 ^m" A B^ 

 ou 

 [i? (k - 2m) + Am{m- 2k)Y = 27 k' m^ A^ B + 27 m'' A B^ + 



+ 27Ä; m^ A B [B (k — 2m) -^ Am{m — 2/fc)]. 



En effectuant le calcul on obtient 



A -' vV' - a A- (kA + B)m^ + 3A {W- A'^ - 5B'-)m' — 



- 2(4^3 k'' -9k'- A'- B- 9k AB'- -\-AB^)m^ + 

 4- 3k B (4 B-' - 5k'- A'-) m^ - Qk'^ B^ {kA + B) m -^ k'' B'' = 0. 



Cette équation donne six valeurs pour m. Elle a cependant 



deux racines m = - -, , correspondant à la droite Ax-,, + BXi = 



comptée deux fois, qui est la tangente du point d'inflexion à 

 l'infini. 



