420 LA SURFACE CUBIQUE DE Rl^VOLUÏION. 



La surface est en ce cas dégénérée en le plan d'inflexion et en 

 une surface quadi-atique de révolution. 

 Puisqu'on a maintenant 



i = P fc = — 1 m = — -T îi, 



les quatre racines sont: 



7i, = -H 1 , «2 = 7i^ =r 7i, = — 1. 



Les quatre valeurs pour m sont par conséquent: 



B B 



mj = — 2 , m, = m.; = m.i = + ^ , 



appartenant aux plans Ax.,^ + Bxi = et Ax.,^ — Bxi =■ 0. 



Conclusion : Si O3 est dégénérée en une surface quadratique de 

 révolution 0^ et en un plan V normal à l'axe, l'un des plans 

 x., — mxi = coïncide avec le plan V et les trois autres avec le plan 

 V', qui coupe l'axe sous un angle droit en un point, qui est le 

 pôle du plan V par rapport à O^. 



Si nous avions employé l'autre système de coordonnées, l'éli- 

 mination de c = A aurait été beaucoup plus embarrassante : voilà 

 pourquoi nous nous sommes servis du premier système. 



§ 4. Application du second système de coordonnées. 



U^Axi x^ Xi + x-^ (.1-3 — k^ .fj {x.^ — k^ xj = 0. 

 Il en suit 



[/, = Ax^ Xi, 



U2 = Ax^ Xi, 



U., = 3x3- — 2(Ä;i + k^} X., .K, + kj ^"2 'V, 

 U^ ■= -- (k, + kn) •(■,/ + 2k^ k^ x^ Xi + ^x, x^. 

 L'équation de la première surface polaire du point (2;, ,22,23,2:4) est 



Ax^ Xi z, + Ax^ .(■, 2, -h |3.(V — 2 (fci + fc,) .'-3 Xi + fci k, .-vl 23 + 



+ \— (Ä;, + k^) :v + ik^k^ x^ Xi + Ax^ x,! ^4 = (1) 



La surface polaire de J (z^ = 0, 23 = 0, Zi = 0) est représentée 



par Xj Xi — 0, celle de 1 {z^ ■= 0, z.^ = Ü, 24 = 0) par x^ Zi = 0. 



