422 LA SURFACE CUBIQITF. DE nÉVOI.UTION. 



1° si k,= ~ a k, , 



2° si k, = — «2 L . 



Dans le premier cas le plan a pour équation : 



2 



k^ 

 8x3 = k^ {l — «) Xi , ou Sx-^ = "9^(3 — i ^S) «4 ; 



dans le second cas: 



k 



SX^ = fc, (1 — «2) rg^ ^ QU 3_^^ — 2_ (3 _|_ ^ 1/3^ 3.^ _ 



L'équation de la seconde surface polaire de (x^ =0, Xo '=0, x^ =0) 

 est 



82^ — (Ä;, + fco) «4 = ou 8:r.( = (/cj 4- ^2) X4 . 



1° Etant Ä;, = — « ko, cette équation devient 8x3 -= ~{3 — i ^3) 3:4 , 



2^ „ k,=-a'^k„ „ „ „ 3x,=:^{3+i^3)x,. 



Dans tous deux les cas le plan polaire de (xj =:0, x^ =0,^4 =0) 

 coïncide avec la première surface polaire, dégénérée en un seul 

 plan. 



L'équation de la première surface polaire du point {z^ =-'pz.,. z.^ --0, 

 24 = 0) s'écrit : 



X4 (x, +- ipxo) = 0. 



Elle se compose, comme nous l'avons déjà démontré plus haut, 

 du plan d'inflexion et du plan passant par l'axe qui est perpen- 

 diculaire au plan x, — px^. 



L'équation du plan polaire de x, ■=pxo est 



24 = 0. 



Evidemment tous les points de la ligne à l'infini (x^ =0, Xi =0) 

 ont en commun la seconde surface polaire. 

 Etudions maintenant la surface de Hessf,. 



Un = 0, U,.2=Ax„Urn = 0, Uu-=Ax„ 



Ur2 -Ax„ U.22 = 0, [723 = Ü, ll2^=Ax^ , 



C/i3 = 0, U23 = 0, U3s = Qx^-2{ki + ko)Xi, [734=— 2(/c, ^äjJx^ +2/;,/%x4 , 

 Uu--=Ax2, U2i = Axi, Usi = —2{ki+ko)x.^-h2kik2X^, Uu—^k^k^x.y 

 L'équation de la surface de Hesse s'écrit: 



4A'^Xi[_Xi\{l('\ — ^.'i ^^2 + fc"^)xj: — Ä.'i/c2 (/e, +Z':.,)x.5X4 -^k:\llx][ + 



+ vlx, X2 i 8x3 — (Ä;, + k.^) x, i ] = . . . (2) 



