440 LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 



L'un des points de rencontre avec l'axe est donc le point D, 

 qui se trouve dans le plan d'inflexion. 



Les trois autres points d'intersection de il'-'' avec l'axe sont 

 unis dans le point de rebroussement. 



La droite [v.^ = ^, v^ =0) (c.-à-d. l'axe) est entièrement située 

 sur 123. Chaque plan par l'axe est plan tangent; ce qui est en 

 concordance avec la propriété suivant laquelle la première surface 

 polaire de chaque point de (a;^ = 0, x,^ — U) est dégénérée en deux 

 plans, dont l'un passe toujours par l'axe. En effet on peut consi- 

 dérer la surface réciproque comme l'enveloppe des premières 

 surfaces polaires de 0^ qui sont dégénérées en des cônes (ou en 

 des couples de plans). 



Évidemment l'axe est dualistiquement conjugué à la ligne à 

 l'infini. Le point de rebroussement sur l'axe est dualistiquement 

 opposé au plan d'inflexion. 



Sur la surface réciproque i2-* sont situées, tout comme sur O^, 

 27 droites. Neuf d'entre elles sont unies dans l'axe, 



3 dans la ligne {v^ — 0,'y3=0)E^D/, 3danslaligne('U2 =0, ^'3 = 0)EEsD/, 

 3 „ „ „ iî,/,3 „ „ „ H,J, 



3 „ „ „ ^2^,3 „ „ „ H^J. 



Si k^ -H k,^ ^=0, l'équation de 0., s'écrit: 



Ax^ Xo x^ + x^ (x'^^ — k"^ a;^) = 0, 



et celle de S2^ 



6 o 3 „ 



— j; ^1 ^2 'î^'i -^ '^3 {% — 'Y '"d = ^ ■ 



Ici v^ = est l'équation du point de rebroussement, qui coïn- 

 cide donc avec le point A. Aussi A est [A et D étant harmoni- 

 quement conjugués à B et C') le pôle du plan d'inflexion. En ce 

 cas le point de rebroussement et le plan d'inflexion sont conjugués 

 l'un à l'autre non seulement dualistiquement, mais encore polaire- 

 ment. En général la correspondance dualistique est identique à 

 la correspondance polaire, quand les points A, B, C, D forment 

 un quaterne harmonique. 



§ 6 Points singuliers. 



La surface 0., a un point double conique en A, soit qu'on pose 

 Ajj := ou k.2 = 0. 



