LA SURFACE CUBIQUE. DK ufivOLUTION. 443 



La surface de IIksse appartenant à un seul exemplaire est 

 composée, outre du plan d'inflexion {x^ = 0), de la surface cubique 

 de révolution H.^, qui a pour équation: 



Aj:, x^ \Sx.^ — (Â-, + /-,) x^ I + x^ [(/c, — /C| le, + ]C ) «.( — 



— ^1 ^^2 (/c, -t- /i-,) X-. x„ + fc'i /cj; X| ] = 0. 



Évidemment les surfaces H,, appartenant aux surfaces 0-^ font 

 aussi partie d'un faisceau, et bien d'un faisceau projectif à celui 

 des surfaces 0.,. 



L'intersection d'une surface 0-^ avec la surface correspon- 

 dante i/3 se compose outre de la ligne à l'infini des plans perpen- 

 diculaires à l'axe, de quatre cercles situés dans les quatre plans 

 Pj a;., + X4 = 0, Pj a;., + x^ = 0, P-^ x-^ + x,, = 0, P^ 0:3 + ce, = 0, 

 où Pj, Po, P3, P^ sont les racines de l'équation 



P' — ,-V i'' - --^\:tA) p 1_ ^ (voyez page 424). 



Dans cette équation À ne figure pas. 



Les surfaces 0.^ coupent donc les surfaces H.^ suivant des 

 cercles, qui se trouvent dans quatre plans fixes. 



Les quatre plans Pj x-^ + x^ = Ü etc. peuvent être considérés 

 comme remplis de toutes les courbes spinodales du faisceau. 



La surface iî^ de la surface .Tj X2 x,^ est représentée par 



La surface H.^ de la surface a;., (x-^ — fej 3:4) (x-^ — k.> x.J = 

 a pour équation: 



\ k, + k, + i{k, -k2)\^1 _ j 



j fct 4- Ä:^ — 't (Z;, — fc2 )'^3 _ (_,. 

 1 2 Ä;7&7 "^^ "'M - "• 



Comme nous venons de remarquer, la ligne à l'infini des plans 

 perpendiculaires à l'axe, considérée comme partie de la courbe 

 de base, compte pour trois. 



Vu que tous les éléments de ce faisceau ont en commun le 

 plan d'inflexion, nous devons nous imaginer que la ligne à 

 l'infini a résulté de la coïncidence de trois lignes du plan d'in- 

 flexion et nullement de la coïncidence de trois lignes qui ne se 

 rencontrent pas, comme c'est le cas dans le faisceau que nous 

 allons traiter à présent. 



