444 LA SUUFACE CliBIQUlî DE KKVÜLUTION. 



Le faisceau ei) question en est un de surfaces cubiques de 

 révolution, auquel nmis donnons l'équation suivante par rapport 

 au premier système de référence: 



f-jXj x.^ X;, + Bx^ x, x^ + X., ;c^ (x.; — kx.^) = 0. 



C'est encore ici que tous les éléments du faisceau ont en commun 

 la courbe gauche du neuvième degré formée des sept droites 

 qui se trouvent sur une surface cubique de révolution. La ligne à 

 l'infini des plans perpendiculaires à l'axe compte encore pour trois. 

 Elle n'a pas dans le cas actuel résulté de trois droites situées dans 

 un même plan, mais au contraire de trois droites qui ne se rencon- 

 trent pas, car ici le plan d'inflexion ßx^ + B x^ ^= est variable. 



Évidemment les divers plans d'inflexion forment un faisceau 

 projectif au faisceau des surfaces cubiques de révolution. 



La surface de Hessk est composée, outre du plan d'inflexion, 

 de la surface H.^ : 



{r-)x.. + Bx,^) (x!^ — fa., x^ + lc\ x\) — r-j(r-)k ■+- 2 B) X, x, X3 + 

 + B{1ßk + B)x^ x.,x, =0 



(voyez page 415). 



Cette équation est du second degré en (■). 



A une seule surface H.^ appartiennent donc deux surfaces 0.^. 



La courbe spinodale (parabolique) d'un élément du faisceau est 

 située dans les quatre plans X3 +J9, X4 = etc., si p, etc. sont 

 les racines de 



Qi p^ — 4:Bßp' - 6B0kp^ — 4:B ß F'p + 5^ k^ = . . («) 



(voyez page 417). 



La surface lieu de toutes les courbes paraboliques du faisceau 

 est représentée par une équation qui résulte de l'élimination de 

 ß dans: 



ßX^ X^ X^ + i?X, X;, X4 + X;j X4 (X;j — fa ^ ) = 



et 



(ßx. + Bx.^) (.x^', — fay X,, -1- k- x\ ) — 



— ß {ßk + 2 B)Xi X., X3 + B (2 ß k + B) x, x., x^ = Ü. 



On obtient: 



X, (x, - faj [}iB'~x^x: — 4Bkxi X2X3X, + 2 5xj x^ x' - a;* ] = 0. 

 Cette surface du sixième degré se compose donc des plans 



