r;A SURFACE OUBIQUR DK UKVOI-IJTION. 445 



x^ = o, a;.j — fe,, = ü, et de la surface biquadrati([iu! O^ qui a 

 pour ('quation 



S B'~ x"^ ■>:', A Bkxi x^ x.j^ x^ -I- 2 B x^ x, 'K - x\ = 0. 



Le résultat obtenu aurait pu se déduire de la forme de l'équa- 

 tion ((<), étant biquadratique en p et du second degré on fj, ce 

 qui naontre. qu'une seule valeur de p détermine deux valeurs de 

 ß, ou bien: que dans un seul plan x.^ -\-px,^ =0 sont situées les 

 parties de deux courbes paraboliques, savoir deux cercles et la 

 ligne à l'infini comptée deux fois. Les deux cercles forment la 

 courbe d'intersection 0^ avec le plan x.^ -t ■px^^= i); la ligne à 

 l'infini comptée deux fois résulte des plans a;,, = et Xj — kx^ =0. 



Le faisceau de surfaces cubiques de révolution qui peut être 

 représenté par rapport au premier système de coin'données par 



(^4 x., + B x,^) x^ X., + x~. «., — ,'( il'., a;^ = 



contient toutes les surfaces, qui ont en commun 



1° quatre des six lignes isotropes, 



2° la ligne à l'infini, qui ici compte pour cin(|. 



Trois des cincj lignes, dont cette ligne a résulté se trouvaient 

 déjà dans le plan d'inflexion, car c'est un plan commun à toutes 

 les surfaces du faisceau. 



Les surfaces cubitjues de révolution de ce faisceau coupent 

 évidemment l'axe en un seul point, de situation variable. 



La première surface polaire du point (sj ^=mz.^, z.^ =r o, s^ = 0) 

 est représentée par 



(à-j + mxr,){Ax.j^ + Bx,^) = 0. 



Cette expression ne contient pas u, de sorte (|u'un point de la 

 ligne à l'infini des plans normaux à l'axe a la même première 

 surface polaire par rapport à toutes les surfaces de ce faisceau. 



Etudions enfin le faisceau syzygétique. ') 



Le faisceau syzygétique a pour courbe de base la courbe para- 

 bolique. Evidemment il est déterminé par les surfaces 0^ et H^, 

 et peut donc être représenté par 



') L'étude du faisceau syzygétique a été ajouté au méiiioiie original à l'avis 

 de M. P.-H. ScHOUTE, professeur à l'université de Groningue. 



