446 I. A SURFACK CUBIQUE DF. RÉVOLUTION. 



À \_A x^ a;, .T^ + x.^ - {k^ + k^) x'^^ x^ + k^ k., x.^ xl"] + 



+ [Ax^x,\^x.,—(k, +k,)x,\ +x, \{lcl- k, k., +kl)xl — 



— ^1 ko (^1 + k,) X.; x^ + ]c'^ kit :rl l] — 

 ou par 



La surface (|ui a pour équation 



N^ = {kt + k.,)0., + H.,=0 



est aussi un element du faisceau. 



En évaluant la forme symbolique (k^ + /{;,) 0., + Hj^ on obtient 

 pour l'équation A^3 = Ü : 



N.^^3 Ax^ Xj «;( + [kj -+- k.^) x„ — 3 ^, k.^ x.'^ «^ + ^ k^-, .r'^ — 0. 



Dans la suite nous désignerons la surface générale de ce fais- 

 ceau par O3. La surface de Hesse appartenant à O3 est composée 

 du plan d'inflexion de O3 et d'une surface cubique, qui sera 

 désignée par h.^. 



La surface h^ appartenant à la surface iV^ est, comme le montre 

 le calcul, identique à la surface O3. 



On peut aussi représenter le faisceau syzygétique par 



O3 =iV3 + ,« O3 =0 

 ou 



O3 ^ [3 Ax^ «2 ^3 + (^1 + ^2) ^3 — ^^i ^2 K ^4 "*" ^1 K ^4 ] "^ 

 + fi [^Axi x^ X4 + x'.j — (^j + /Cj) X3X4 + /cj fc, 3:3 «^ ] = . . (1) 



L'équation de }i.^ correspondant à O3 s'écrit: 



7i,3 ^Ax^ x^ [Î3,«^ + 9,«2 (fcj + /^j + 21 iik^ k^\x.^^ + 



+ ! — ^a (A, + /c^)_9^2 /cj /C2 + Tlk\K\x^'\ + 

 + (3 3^3 +fta;J[î/«2 {k\ — k^ko ^/î^) + 3,ufc, fcj (fc, +fc2)+9Ä;j Ä;^ \x^ — 

 — j,«2 fe, Ä;2 (/cj + ^2) + l!2." ^\ ^o + 9 (^j + ^2) ^1 ^\ j »^3 ^1, ^ 



+ j /t2 jk'^ jk^ + 3f. fc; t {k, + yk,) + 9 /c' Ä;;^ î] = . . . (2) 



On voit qu'il y a une correspondance (1,3) entre les surfaces 

 O3 et les surfaces h^. 



Une seule surface O3 détermine une seule surface ^'13. 



Une seule surface h^ appartient à trois surfaces O3. 



Dans cette correspondance, il y a quatre coïncidences. Il arrive 



