448 LA SURFACE CUBIQUK DE RÉVOLUTION. 



réelles et deux imaginaires, deux des surfaces {oh) ont un para- 

 mètre réel, les deux autres ont un paramètre imaginaire ; ces 

 dernières surfaces sont donc elles-mêmes imaginaires. 



Une surface o.. du faisceau syzygetic^ue est dégénérée, si le 

 premier membre de l'équation O3 =0 est divisible par Sx^ + i^x,,, 

 donc si l'expression 



\ik, +]r,)+u\ x;; — !3^-, le, -h u {k, + k,)\ îc X, +f.Ä-, k,x, x; +k^ k; x^ 



contient le facteur 3.x., -t-.nx^. 



Cette condition s'exprime par une é(iuation en ,« résultant de 

 l'élimination de x.,, et de x^, et qui s'écrit: 



.«'' + 4 {k, + k^) «3 + 18 k^ k,_ ,«2 — 27 /r' Ji, = 0; 



elle est conforme à l'équation (4). 



Il s'ensuit qu'il y a dans le faisceau syzygétique quatre éléments 

 dégénérés, (|ui sont en outre identiques aux surfaces (oh) 



Le raisonnement précédent nous a servi à démontrer que, outre 

 les surfaces {oh), il n'y a pas d'autres éléments dégénérés. 



Chaque élément du faisceau coupe l'axe en trois points A, B, C. 

 ()r les ternes de points A, B, C de toutes les surfaces du faisceau 

 forment évidemment une involution du troisième degré et du 

 premier ordre (J3). 



X; 



En représentant un point sur l'axe par le quotient -- = A', 

 ré(| nation de 1 'involution devient: 

 [(/,■, +k,)X'~3k, k^X'-' +k; Ic^ +.«[X3--(fc, +^2)^' +k^k.,X]=0 . . (7) 



Les (juatre points doubles de cette involution sont situés dans 

 quatre ternes, dont les paramètres sont les racines de l'équation 



/<^ + 4(Â'| + k.,)i<' + ]Sk^ k.,u- - 27t;fc^"0, 



qu'on obtient en égalant à zéro le discriminant de (7). 



C'est encore l'équation (4). 



Nous voyons (jue les surfaces où deux des trois points de 

 rencontre avec l'axe ont coincide, on, ce qui revient au même, 

 que les surfaces douées d'un point conique sont identiques aux 

 surfaces {oh). 



Ainsi les quatre surfaces {oh) jouissent des propriétés suivantes: 



1°. Elles sont dégénérées en un plan n et une surface quadra- 

 tic] ue de révolution ; 



2°. Elles ont un point coni(jue; 



3". Elles coincident avec leurs surfaces conjuguées /t.,. 



