LA SIJRFACK CUBIQUK DK UKVOLl'TION. 449 



Nous en coiicluon.s i|u'il y a deux cas ])ossibles: 



a) Le point conique se trouve dans la partie plane /i, ou en 

 d'autres termes: la surface ({uadratiijue de révolution est 

 tangente au plan :r ; 



b) Le point coni(|Ue se trouve hors <lu plan i, c.-à-d. ((ue la 

 surface (juadratique est un cône de révolution. 



Nous allons démontrer (|ue seulement le cas h) se présente. 



Les douze points d'intersection des quatre surfaces (oh) avec 

 l'axe sont donnés par une équation ^12 {X} '= U, du douzième 

 degré en X, qu'on obtient eu substituant dans ré(juation (4) 

 l'expression : 



''-~ X3 — (fc, + h^)ln + k, kTX^' 



Les ({uatre points D des surfaces (oh) sont déterminés par une 

 équation a^ (A') = U, du (juatriême degré en A', (j^ui résulte de la 

 substitution de 



« = — 3 X 

 dans l'équation (4). 



Puiscjue les points D de ces surfaces (oh) sont situés sur les 

 surfaces (oh) elles-mêmes, et qu'ils comptent au nombre des douze 

 points mentionnés, la forme -u (A') doit être divisible par A,^ (A), 

 de sorte que l'on a 



^^^^ = 11 (Y) 

 A, (A') "'« ^-^f- 



La constitution de IJ^^ (A) doit apprendre lecjuel des deux cas 

 a) ou b) est réalisé. 



Pour le cas a) : si le point coni(|ue se trouve dans le plan ;t, l'ex- 

 pre-ssion 7/g (A) doit contenir un facteur A^ (A'). 



Pour le cas b) : si le point conique se trouve hors du plan .t, 

 la forme IJ^ (A) doit être un carré complet. 



Le calcul montrant que le dernier cas se présente, on en conclut 

 que les surfaces {oh) sont composées d'un plan .7 et d'un cône 

 quadratique de révolution. 



Supposons que de l'équation (5) les racines F^, F, soient 

 réelles, P^, f,, imaginaires; en ce cas les paramètres ,«,, .«ç, donnent 

 les surfaces (oh) réelles, les paramètres .113, ,'(,j les surfaces {oh) 

 imaginaires. 



Soit 1\ x-j^ + x.^ — le plan .Tj, qui contient la partie réelle pj 



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