450 LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 



de la courbe paraboliiiue, le plan réel rc.^ contiendra alors une partie 

 imaginaire (jo^) de cette courbe. Si le plan d'inflexion coïncide 

 avec TT,, le cône doit avoir le sommet hors de n^ et contenir la 

 partie 'p.^ dans le plan n,^. Il parait donc (|ue le cône est imagi- 

 naire, ayant le sommet réel et la directrice imaginaire. 



Si le plan d'inflexion coïncide avec n^, le sommet du cône se 

 trouvera hors de n^, et le cône contiendra la partie réelle (p,) 

 en ;r, ; il s'ensuit que le cône est réel. Si le plan d'inflexion 

 coincide avec -t., (ou avec n^), le sommet du cône se trouve hors 

 de Ti._^ (ou de tt,, ); le cône doit contenir la partie réelle pi en n^ 

 et la partie imaginaire p., dans le plan réel n.^ ; il ne peut donc 

 pas être réel, quoiqu'il passe par un cercle réel {p^) On en con- 

 clut que le sommet du cône doit être imaginaire. 



On voit (|ue deux des (juatre surfaces sont entièrement imagi- 

 naires, que la troisième se compose du plan tt, et d'un point 

 isolé, tandis que la quatrième est formée du plan jt.-^ et d'un cône 

 quadratique de révolution. 



Si l'on a k^ -t- /c, = 0, la surface iV.. est identique à //.. En ce 

 cas H.^ est la surface /i.., de Oy et O-,^ la surface /t., de N.^^^H.^. 



Ce résultat autorise à tirer la conclusion suivante: si les trois 

 points d'intersection avec l'axe forment avec le point D un quaterne 

 harmonique, la relation entre les surfaces o^ et /*.. est réciproque. 



Les trois points A, B, C de rencontre avec l'axe sont donnés 

 par l'équation (7) : 



[{k, + k.,) X-' - Sk^k.X'^ + k; k::] + ,» l-V'-{ki + A';.) A-2 + Ä,', fc, A'] = 0. 



Le point D est déterminé par (6) : 



SX + fi = 0. 



Les points X = x, X — y sont harmoniquement conjugués aux 

 points X^= 'é,, A'= ï], si x, y, $, iq satisfont à 



y - è n — y' 

 ou 



2 (;(:,'/ + i' n) = (x + y) ('i + //) . 



Supposons maintenant que le point X=x soit un point D, on 

 a la relation 



3x + ,« = ; 



puis admettons que les points A' = y, X— 'è, X — i; forment 



