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Toutes les surfaces de ce système ont en commun (piatre dea 

 six lignes isotropes et de plus lu, lignes à, l'infini des pluns per- 

 pendiculaires à l'axe. 



La première surfixce polaire du point (;:, , z.,, î.,, s,,) a pour 

 équation : 



[0 X., x.^ + lx^_x^)z^ + {(» x^ a;.; + l x, a;,,) z.^ + 



+ {» x^ x^ + 2 X.. x^ + fi xl)z.^ + {)^x^ X, -^ x^. + 2 ,« x.^ x^)z^ — 0. 



La seconde surface polaire de {z^,z.,,z..,Zi,) est représentée par 



{o z., s, +Xz.,z,)x, + {oz,z.^+kz^ Z„) X., + 



+ {llz^ z^ + 2 -, z^ + ic z; ) X., + (À z^ z., + z; + 2 .« z,, z,)x, = 

 ou 



(2 s, 2i. ^'-i + 2' «' J + " (-2 =;i ^1 + 2] 2;i •'^2 -+- 2i ^2 ^;',) + 



À {z., z^ x^ + z^ z, x._ + z^ z, X,.) + u (z'I x., + 2 z,, z, x,) - 0. 



Les plans polaires de (z, , z.^, z,, 2; J par rapport à tous les élé- 

 ments du système forment un système de plans, non pas du 

 troisième, mais du second ordre. 



En effet les quatre plans 



2z.^z, X, + z;x^ -0, 



Z ly Z-^ 00 t T~ Z ^ "Z ■) % .y I ^1 -w .> *C .^ \J j 



2. Z^ X, + Z^ Z^ X., + Z, Z., X„ =0, 



z;x._, + 2z., Z^ X,, ={), 

 passent par un seul point, puis qu'on a 

 , , 2z 



''2 "3 



Zr, Z. 



'l "1 







, , z,z, , 



, z, z„ 



— 0. 



0,0, z; ,2z,z, \ 



Dans l'équation de la gerbe de plans l'un des quatre termes 

 peut donc être supprimé, de sorte que nous pouvons l'écrire des. 

 quatre manières suivantes: 



10. o{z,z,x^ +C'i Z,X, +z, z,x,) + 



+ k (Z^ Z, X, + 2, 2„ X., -4- 2, Z., Xi) + !< {zl X., + 2 Z., Z^ X,) = (» , 



2". (2z., 2j«, + zlxi) + À (22 24.1;, +2, ZiX., + :, z.x,) + 



+ ,<( (z^ rc, + 2 2., Z4 X4) = , 



3». (2 z., ZiX., + zl.ri) + 6 (zj z, a-, ^- z, z, .r, -i- z, z, ^-3) + 



+ .u (z^x^ + 2z., r4.r4) = (), 



