454 LA STTRFACK CUßlQUK TiK REVOLUTION. 



4". (2 z., z, X., + z; ,n) + (r^ z, .r, + z^ c, .r, + Cj z., x .,) + 



+ l{z., z^x, -T- z^ ZiX.^ + =j z^ x^) — 0. 



Ces gerbes de plans identiques contiennent les plans polaires 

 de (cj , ^2 ) ^a > "4) P*^" T'^pport à quatre systèmes de surfaces cubi- 

 ques de révolution du second ordre, savoir 



1". a;, .Tj a;., + À x^ x^ x^ + ,« x.^ x'^ = , 



2° . A .r j x.^ ^i + .^3 3:4 + /« .X3 a;^ := , 



3'^. Ö .-Tj .7-2 .Tj + .r'J .T4 + ,1« .T3 .-»'^ = , 



4". « a-j .«2 x.^ + X .Tj ,^2 .r^ -I- .)'g .7-4 = . 



Le premier système renferme des surfaces ayant toutes un point 

 conique en {x^ = , x.^^=() , 3:4 = 0) . 



Le deuxième système renferme des surfaces toutes dégénérées en 

 le plan 3^4 = et une surface quadratique de révolution. 



Le troisième système ne contient que des surfaces dégénérées 

 en le plan .t.; = et une surface quadratique de révolution. 



Le quatrième système enfin contient seulement des surfaces 

 ayant un point conique en (.t, =0, a;, =0, .-Cj =r 0) . 



Le centre de la gerbe de plans susdite est déterminé par 

 {z^^i + ^1 ^2 ^^' ' ^:i ^^ '* I S'+ = '0 , 01^1 pfll" 



(- = -^, x,^Q, 3^4 = 0) 



Il paraît que tous les points, pour lesquels ~' a la même 



valeur, — qui sont donc situés dans un même plan passant par 

 l'axe — ont le même centre de gerbe de plans polaires. 



Ce centre se trouve sur la ligne à l'infini des plans normaux à 

 l'axe, et bien dans une direction normale au plan du pole; il est 

 donc le point de rencontre de toutes les normales au plan du 

 pôle, ou en d'autres termes: les plans de la gerbe se coupent 

 suivant des lignes parallèles, normales au plan mené par le pôle 

 et l'axe. 



L'équation de la première surface polaire du point {z^ —mz^, 

 z, = 0, z, = 0) est 



(x, + mx.,) {h x-^ + À x^) — U . 



