LA SURFACE CURIQUE DR RÉVOLUTION. 455 



Tout comme dans le faisceau représenté par 



(•) <r, a? 2 *■■! + ^^*'i *2 *+ + ^'A *■! (•^:i — '^■■'^■i) ^= f^ 

 cette surface est indépendante du paramètre /*. 



§ 9. Engendrement des surfaces cubiques de 

 réyolution. 



L'équation d'une surface cubique à deux points biplanaires 

 peut toujours pi'endre la forme : 



Ax^ a:, x^ + x.^ {x^ — k^ ;cj (a;3 — k., x,,) = 0. 



Une telle surface cubique peut évidemment être engendrée par 

 trois faisceaux de plans, liés par une homographie du troisième 

 degré et du second ordre, et dont l'un des axes est rencontré 

 par les deux autres. 



En effet, en éliminant À et /t de 



Xj + ƒ. (.T3 - k^ x^) = 0, , 



«3 + kAx._ —0, ' (1) 



l {x.^ — i'j x,,) + fi x,^ = 0, ' 

 on trouve 



Axi Xj x^ + X3 (X3 — kl x^) (.X3 — k^ X J = 0. 

 Les axes des trois faisceaux de plans sont 



I Xi = j Xj =0 j X3 =0 



I X3 = ^2 ^4 ' I X3 =: ' ( X^ = 



Il paraît que l'axe (Xj = , x^ = 0) est rencontré par l'axe 

 (Xj =^ , X3 = 7^2 .'Kl,) aussi bien que par l'axe (Xj = , X3 = 0), 

 et que les points d'intersection sont (xj =0, ^3=0, x^ ^= 0) et 



(X2 = , X3 rr: , X^=: 0). 



Les deux droites (xj ;= , X3 = k^ x J, (xj = Ü , X3 =: 0) — non 

 situées dans un même plan — , que nous avons associées à l'axe 

 (X3 = 0, a\ — 0), auraient pu être remplacées par les couples suivants: 



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