456 LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 



X, =Q I X, =0 I 



, __ 7„ avec ." _ 7 ^. I , 



x,—0 I x.=0 I 



, — T, avec ^. _ 7. . ■ 



X-^ — «t-l 3;^ ] X-^ — /fcj it"|| I 



L'engendrement suivant ce principe peut donc s'effectuer de 

 six manières. 



Sans l'élimination de À et de ,« des trois équations (1) nous 

 pouvons immédiatement constater par la géométrie que trois fais- 

 ceaux de plans dans cette position particulière engendrent une 

 surface cubique, et cela des deux manières suivantes: 



a) Chaque plan du faisceau 



X{x.. —kj x-J + (ta;,, = 



a en commun avec la figure engendrée 



1° la ligne .t., =0, x^ = 0, 



2^ le produit des deux faisceaux projectifs de rayons suivant 

 lesquels les deux faisceaux 



Xj + ." (x-^ — k.2 Xi^) = et X.. -T- X Ax.^ ■= 



coupent le plan du faisceau 



A {x■,^ — ^1 a; J + ,<« x^ — 0. 



Ce produit est une conique, qui forme avec la ligne (:?., = 0, X4 — 0) 

 une courbe du troisième degré. 



Le produit des trois faisceaux de plans est donc une surface 

 cubique. 



[Les deux faisceaux x^ -t- h {x.^ — jfcj .t,,) ^ et x^ + l Ax^ = 

 coupent le plan Àj (.t^ — k^ x^) + u^ X4 = suivant deux faisceaux 

 projectifs de rayons, parce que le plan choisi détermine le quotient 



— = - = a. Ainsi le plan « («3 — k^ x^) + X4 = est coupé par 



les faisceaux ce, + ,« (0:3 — ^2 ^4) ^^ ^ ®* ^s ^' " '" ^^2 ^^ ^- ^^h ^ 

 étant fixe, ces deux faisceaux sont projectifs.] 



b) Les trois faisceaux de plans coupent une droite suivant une 

 homographie de points du 3è"ie degré et du 2'' ordre. 



Celle-ci a trois points triples ; avec une droite le produit des 

 trois faisceaux a donc en commun trois points : c'est donc une 

 surface cubique. 



Si nous prenons pour l'un des axes la ligne l à l'infini, et que 

 nous choisissons une droite passant par l'un des deux points 



