458 LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 



Si nous avions posé k., ~ 0, la surface aurait été engendrée 

 par les faisceaux : 



ajj -(- ,«./:., = 0, 



/(x., — k^ x^) + ^ix^ =0. 



Ici les trois axes des trois faisceaux sont tous situés dans le 

 plan passant par les trois points doubles. 



Si la surface est douée d'un point conique, les axes de deux 

 des six ternes de faisceaux, qui peuvent engendrer la surface, se 

 trouvent dans un seul plan passant par les trois points doubles. 



Si la surface a, outre les points I et J, un point biplanaire, 

 on a Ä-Jj =0 et äJj =0; alors elle est engendrée par les faisceaux: 



x^ + iix-^ = 0, 

 X.. + ï. Axo = 0, 

 ÀX3 + /<«, = 0. 



En ce cas aussi les trois axes se trouvent tous dans le plan 

 passant par les trois points doubles. Il en serait de mênae, quel des 

 six ternes de faisceaux que nous choisissions pour générateurs. 



Nous pouvons encore considérer la surface cubique de révolution 

 comme le lieu des courbes de contact des cônes tangents menés 

 d'un point de l'axe à un faisceau de surfaces quadratiques de 

 révolution coaxiales. 



La surface O3 est donc le lieu des courbes d'intersection des 

 éléments d'un faisceau de surfaces quadratiques de révolution 

 avec leurs plans polaires par rapport à un point de l'axe de 

 rotation. 



On peut par exemple donner à un faisceau de surfaces quadra- 

 tiques de révolution, ayant toutes la droite (xj ^0, x^ =0) pour 

 axe de rotation, l'équation suivante par rapport au premier 

 tétraèdre de référence: 



\x ^x ., -h u{x.^—l ^x ,^)(x .^^—l ^x :^)\ +X\XfX.,+i'l{x-.—m^x^Xx.^ ~m2Xi^)\—0..{2) 



Le plan polaire du point (xj =0, x^^O, x.^=^kx^) a pour 

 équation : 



u[\2k — il, -h l.,)\ X., — \k{l, + 1.) — -21^ l^{ xj + 

 + li->[\2k— (yjii +mj( x-. — |/c(mj + vio) — 2m, mjî xj =0. . .(3) 



