460 LA SUHPAUK CUBIQUK DE KÉ VOLUTION. 



Si nous avions pris le point {x^ ~{),x^ —0,.'«., =0) pour pôle 

 nous aurions obtenu: 



x^ x^ [)/■' (m-i + ^2) — '^ (h + ^2)! ■''■3 + 2 !«r l^ l^ — /?m, m,! x^l +- 

 + (( ji [i(mi 4- vi^) — {l^ + /,)î :);;| + 2 (/, L, — m, m,) a;". x.i + 



-t- j(^, + ^)mi m, — Il l., (m, + m.,)! »^3 a^j] =0. 

 Cette équation se réduit à 



(^«3 + Bxi^) Xj X2 + C «i — /ot-( x^ = 0, 

 si l'on a 



mi + m, = üi + ^2 — " ^^ 

 et qu'on pose 



{ß — «)k = ^ et "^1 ^2 -/^ ^i ^2 _ ^ 



« /:^ (Zj I2 — m, mj) 'i « p' (^, ij — '"^i ^2) 



Pour retourner au premier cas, si dans l'équation de la surface 

 on donne à k la valeur — 1, elle devient 



{Ax^ -+- Bx^) Xj x^ + x^Xi + Xg x^ = 0. 



Supposé que dans x^ = mXi la constante m soit positive, quand le 

 plan a;., = mx^ se trouve entre les plans x.^ = et Xi ■= 0, l'équation 

 du plan à l'infini est 



En posant fc = — 1 nous déplaçons évidemment le pôle 

 (x, =: 0, ^2 = 0, Xj =: /œ J à l'infini. 



Ici les plans polaires de ce point, par rapport aux éléments du 

 faisceau de surfaces quadratiques de révolution, sont les mêmes 

 que leurs plans diamétraux perpendiculaires à l'axe. 



Il y a dans ce faisceau au moins une paraboloïde de révolution. 

 Le plan diamétral de cette paraboloïde est le plan à l'infini. Ce 

 plan contient donc son propre pôle et pour cette raison il est 

 non seulement tangent à la paraboloïde mais encore à la surface 

 cubique engendrée. 



Par conséquent la surface cubique de révolution, engendrée de 

 cette manière, coupe l'axe à l'infini, ce qu'on voit immédiatement 

 en interprêtant l'équation 



{Ax.^ + Bxi) x, X., + «3 x.i (X3 + X4) ■=■ 0. 



Il est à propos de constater, que presque tous les résultats obtenus 

 dans les §§ 2 — 9 se rapportent à la surface cubique douée de deux 

 points bipjlanaires. 



