464 LA SURFACE CUBIQUK OF. RÉVOLUTION 



OU 



4 ^ 2 JJ2 -2 ^. 4 ^7?;i ,,2 _. 4 ^7j (^AC— BD) z + (AC- BDy- = 0. 



La surface cubique de révolution a un plan tangent, engendré 

 par la rotation de l'asymptote Bz+C=0 autour de l'axe et 

 un cône asymptote, engendré par la rotation des deux autres 

 asymptotes. 



Il est clair que l'équation du plan d'inflexion sera 



Bz+ C = 0, 

 et celle du cône asymptote 



4 A'^B-z^ +AAB^ (.7-2 + y'') - AAB{AC - BD)z + (AC — BDy-^O. 

 Le sommet de ce cône se trouve dans l'origine, si l'on a 

 AC = BD. 



Si, dans l'équation du troisième degré en — 



Ce'—BF Be'- ^ 2Ce^Ä—BE 1 Be^'Ä + AC - BD „ 



5 + , H = O, 



on a à la fois les relations 



2Be^Â~+ AC - BD = et B e^ + 2Ce^^ — BE-0, 



les asymptotes ont en commun avec la méridienne trois points 

 coïncidents; elles sont donc des tangentes d'inflexion, de sorte 

 que le méridien a trois points d'inflexion à l'infini. 



Pour en trouver la condition on élimine e des équations simul- 

 tanées. Cela fait, il vient 



— 3AHJ-^+ 2ACBD + B^D'^ -4:AB^E = 0. 



Un cas particulier de cette position est réalisé par la coïnci- 

 dance des deux points d'inflexion à l'infini, et bien en un point 

 double. En effet, on a alors A = 0, D= 0, ce qui vérifie l'équa- 

 tion précédente. 



Dans le point double sont unis deux jjoints d'inflexion réels et 

 quatre points d'inflexion imaginaires. 



