LA SURKACF. CIJBIQUK DR HKVOI.ÜTION. 469 



OU 



— 8^2^ a—Bx\a — 1Dz^a--Ea^- 1B%, z,c. + 2r'x, n = 0. 



Il en résulte que le coefficient de g dans l'écjuation susdite est 

 zéro, ce qui signifie que la courbe a un point doul)le en P. 

 L'équation de la courbe d'intersection se réduit à 



L'ensemble des deux tangentes du point double est représenté par 

 (3^a2 z, -IBacx, +i?c2 s, + «^c^ + Da^)p+(nz^ +C)rj^ = 0... (3) 



Ces tangentes sont à la fois les tangentes en P aux lignes 

 asymptotiques et peuvent en outre être considérées comme les 

 asymptotes de l'indicatrice. 



Si celle-ci est un cercle, les tangentes aux asymptotiques sont 

 identiques aux lignes isotropes situées dans le plan tangent et 

 passant par P. En ce cas les coefficients de £- et de rj- sont 

 égaux, donc 



3Aa'- z, — 2Bacx, + Bc.^ z, + (k"- -t- PcC~ — Bz, + C, 

 ou, puisque c- = 1 — a- , 



3^a2 z, — IBacx, — Ba'~ s, — Ca^ + Der- -0 (4) 



Cette équation est vérifiée 



a) par a = 0. 



Pour a =^ 0, l'axe des Ç coïncide avec l'axe des z. En ce 

 cas le plan tangent est perpendiculaire à l'axe de rotation, 

 de sorte qu'on obtient 



1° les points de rencontre avec l'axe, 



2° la ligne à l'infini des plans normaux à l'axe. 



Par conséquent les points d'intersection avec l'axe sont 

 des ombilics. 



La ligne à l'infini des plans normaux à l'axe est de 

 même une ligne de courbure sphérique. ('e résultat sera 

 discussie plus tard. 



b) par 3^02;, — 25ca;, — Baz^ — Ca -\- Da •= 0, 



ce qui veut dire, que les points, pour lesquels on a 



2Bx, _ « _ 2a;i (Bz^ + c) 



ZAz^ — Bz^ —C+ D c SAz; +Bx; + 2Dz^ + E 

 ont pour indicatrice un cercle. 



(voyez (D), 



