472 LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 



^{Bz + C) U,, - BU, -{Bz+CY = 

 = {Bz+C){3Az+D)—B\SAz^+B{x^+y^) + 2Dz+E\-{Bz + C'y-=0 



ou 



Bz^+B{x'' + y^) + (BD + 2BC—SAC)z + (C^ + BE— CD) = . 



Ainsi nous avons obtenu de nouveau l'équation (5). Si B-=0, 

 c.-à-d. si le plan d'inflexion se trouve à l'infini, la surface quadra- 

 tique de révolution (5) est décomposée en le plan à l'infini et le 

 plan SAz + (D—C)=0. 



(En général, on peut, considérer une surface du m'"'" degré 

 comme une surface du n'""' degi-é (n > m), qui contient {n — m) 

 fois le plan à l'infini.) 



Il n'y a en ce cas qu'un seul cercle de courbure spbérique, 



situe dans le plan z = ~~o~^~ ■ 



La ligne à l'infini des plans normaux à l'axe doit aussi être 

 considérée comme une ligne de courbure sphérique, parce que 

 l'indicatrice d'un point de cette ligne est composée de la ligne 

 à l'infini comptée deux fois, et que pour cette raison elle passe 

 par les deux points circulaires, de sorte qu'elle est à considérer 

 comme une forme dégénérée d'un cercle. 



Nous verrons bientôt que cette ligne à l'infini remplit encore 

 plus de fonctions. 



L'équation (8) nous permet aussi de trouver la condition sous 

 laquelle l'indicatrice d'un point est une hyperbole orthogonale. 



En efïet, en ce cas les coefficients de 'è^ et de r]- doivent être 

 égaux, mais de signe contraire; de sorte que nous avons 



'SAa^z^—2Bacx^ +Bc'^z^ + Cc^ +Da^= — {Bz^ + C), 



ou, puisque a^ -f- c^ ^ 1 , 



3Aa^ z, —2BacXi -h Bc^ z,+œ-+Da'^+Bz^{a'- +c^)+C{a^ +c^) = 0, 



ou bien: 



(3^s, +Bz, + C+ D)a^ — 2Bx^ ac + ^{Bz^ + C)c^=0, 



d'où l'on tire 



