LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 473 



2a;, {Bz^ + 6') 

 ZAz, + Bx' + 2Dz, -h E 





2xi (Bz^ -+- C) 



(suivant (1)) , 



(ß-,+C')[ExJ±:^i VbhI-2{Bz^+C){SAz^+Bz^+C+D)-BxI-SAz1^2£)z^^E]-0. . (6) 



D'abord Bz^ + C = donne des points dont l'indicatrice est 

 une hyperbole équilatère. 



La ligne à l'infini des plans normaux à l'axe doit donc aussi 

 être considérée comme ligne de courbure orthogonale-hyperbolique, 

 ce qui s'accorde avec l'énoncé, suivant lequel la ligne à l'infini 

 est perpendiculaire à chaque ligne et par suite à elle-même. En 

 effbt, dans cette conception l'indicatrice, qui se compose de la ligne 

 à l'infini comptée deux fois, a deux asymptotes rectangulaires. 



Ensuite, l'équation (6) est aussi vérifiée par 



x, V'b^ xl - 2 (Bzi+C) (SAz^ +Bz, + C+D)-ZAz^-2Dz^ -E = 0, 



donc par 



xl \B'^ x;-2{Bz, + C) {3Az, +Bz, + C+D)\ - {ZAzl+2Dz, + Ey~ = 0. 



La courbe représentée par 



y = 

 et 



9A'-z^-B'-x' + \'-2ADz-^ + {6AB + 2B-')x-'z'~ + {4D^+6AE)z'- + 

 + {6AC+4BC+2Bn)x''z + {'2CIJ + 2C'^)x^+4cûEz+E'~ =0 



coupe donc la méridienne dans le plan y = suivant des points 

 dont l'indicatrice est une hyperbole orthogonale. Par la rotation 

 de cette courbe autour de l'axe on obtient une surface de révo- 

 lution du quatrième degré, qui coupe 0^ suivant une courbe 

 gauche du douzième degré, dont les points sont de courbure 

 orthogonale-hyperbolique. 



Evidemment l'équation de cette surface est 



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