474 LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 



9A^z' —B'- {%'- +y'~y- + i^AJJz'' + {6AB + 2B^) (x^- +y'-)z'- + 

 + {4:ü^ +6AE)z^ + {ßAC+4:BC+2BD) {x'- +y^) z + 

 + {2CD + 2C^) {x^ +y^) + 4:DEz + E'~ =0 (7) 



Nous aurions encore pu obtenir cette surface en substituant les 

 valeurs des dérivées dans la formule suivante, donnée par M. Salmon : 



(Voyez: Salmon, Analytische Geometrie des Raumes II, 3. Auflage, 

 pag. 41). 



La courbe gauche du douzième degré, suivant laquelle cette 

 surface coupe O3, est composée de six cercles. 



La ligne à l'infini des plans normaux à l'axe est de même 

 située sur la surface de Hessf. Par conséquent ses points sont 

 aussi des points paraboliques. 



L'indicatrice des points de cette ligne est donc à la fois un 

 cercle, une hyperbole équilatère et une conique dégénérée en 

 une ligne double. 



Cette absurdité apparente provient de la disparition des coeffi- 

 cients de |2 et de ??2 dans l'équation (3). 



En efifet, pour le plan d'inflexion on a a r= ; le coefficient de 

 §2 est donc c2(52, -t- C) = 0, et celui de n'^ Bz, + C = {). Par 

 conséquent l'indicatrice n'est pas déterminée. 



§ 13. Equation de la surface cubique de révolution ayant 

 pour axe de rotîition la droite :p = y = s. 



Nous nous imaginons un système {§, //, Ç) dont l'origine co'ïn- 

 cide avec l'origine du système de coordonnées précédent, et dont 

 l'axe des Ç coïncide axec la droite x^=y^=z. 



La position de l'axe des S (qui, une fois donnée, détermine 

 naturellement l'axe des v) ne sera pas fixée. 



Si une surface cubique de révolution a, par rapport au système 

 (g, rj, Ç), pour équation 



AP + B^{p + n^) + C{r- + V-) -^ DV- + -ë:ç + / = 0, 



l'axe des t. en est l'axe de rotation. 



Afin de trouver de cette surface l'équation par rapport au 

 système {x, y, z), il nous faut appliquer les formules transforma- 

 trices suivantes: 



