582 SUR l'intégration d'une fraction rationnelle. 



des polynômes d'un degré inférieur à celui de leurs dénominateurs 

 respectifs. 



Dans le cas qui nous occupe l'équation précédente prend la forme 



F{x) _ d^ _P_ Q 

 7'"^" dx r-'-i "^ T 



Si l'on introduit dans cette équation 



F{x) = Ao + A, X -h A, X- + ... -h A2,,-.iX-"-^ 



P = ttg -I- Ö , a; 4- a, x- + . . . + Cb-in-n ^^"~^ 



Q = bo +'->! •'' 



l'égalisation des coefficients des mêmes puissances de x donnera 



2n équations pour déterminer les 2n coefficients inconnus des 



polynômes P et Q. 



Pour y arriver prenons la dérivée k''''"'" de l'équation (2) et sub- 

 stituons x=^ dans cette dérivée. 



Soit D = -j-, on aura 



[D" F{x)l, = Jc! A, 



\ J^' ( T ;A 1 =[t. 7)' +' P-i-lcDT. /)'• P + -4t-^ D-T. D' ' p] 



= {k + 1) ! a . a,+i + k .k\b. a, + k (k—l) {k-\)\c a;,_i 



[D' Ç^^ P\^ =ÏDT D' P + k m T. D''-' p] = 



= k!b.a, + 2k{k-ï)\c.a,^i 

 [/>'•■ (7'"-i Q)], = [Q . D" (T»-') + kDQ. D'-' {T"~')'},= 



= bJc!A, + kb, {k—l)lA,_i 

 par suite 

 k! Ai, = ik + ])la. a,,+i + k .k!b . a,, + k {k—\) {k—\)\c. a,,_i — 



— (71-1) [Je! b . a,, + '2 ^ (fc- 1) ! c . a;,_i] + 

 + k!b,\. + k{k-\)\b, A,.i. 

 ou 

 A,, = {k + 1 ) a . a,,+i + {k ~n + l)b a,, + {k~2n+ \)c . a,,._i + 



+ 6o A,,, + 6, Aj.^1 

 En attribuant à i' les valeurs U, 1, 2, . . (2?i — 1) dans cette équa- 

 tion, on obtient le système suivant 



