SUR I.'iN'I'ÉGRATION d'uNE FRACTION UA'ITONNKI/LE. 587 



(19) Pl_^^=t^" .:^.l . (2k-\)(lc-\){n — ]c-r) 



(90) ./>;;_ =2''- -'.7.9.. (2/.-- 1) (^::z_''H/'^— 2) (,,_/, _i)(.,,_fc_ 2) 



etc. 



qui s'accordent parfiiitement avec toutes les équations (12) et (13). 



3. Examin.ons maintenant les quantités A,. On a d'abord 



[D* + '(T")]„ = [/> + '{7\T"--^)]„ = 



= a [i)'' + ' {T" - ')]„ + {k+l)h [D'^(T-i)]„+ ' - ,-'- 2c[//-'(r" •)]„ 



ensuite on aura 



[7)'' + ' {T")l, = [/>'•/; (T")]„ = [// ]nih + 2cx) T""'!].. = 

 = nb [D'' (T" - ^)]o + 2nc [D'' {x T« - ^)]o = 



= 7i6 [!>''• (T"-')]« + 2nk[V-i(r"-')]o. 



En comparant ces deux résultats on obtiendra 



(2nfc,_ (^ + pQc)[i)'- ' (7'" - ')]o + (vJ; - (/"4-1)?.) [D'^iT'"')], - 



-a[D'' + Mr'-^)]o=0 

 ou, en introduisant 



(21) (2n — Ä; — l)cû,_, + (w— Ä;— 1)?>A,, -(/r-l)aA,, + i=:0. 

 Si, dans cette équation on remplace à.^ par 



, ,, (2n — 2) ('2?i — 3) . . . (27?, -w — 1) , . 



celle-ci se réduit à l'équation (6) 



ka l, _ 1 - {n — k—\)b h — (2n — h — 2) o l, + 1 = 0. 



Or, le calcul direct donne 



n — 2 - 



fe2 



A^ = {n— \.)a"^^b , A, = (m — 1) a"*-M ac 



j — _A 3 _ 2ac + (?t — 2)6'^ 



'~ 2 c ' 2 ■" 2 (2n — 3) c2 



ce qui s'accoi-de avec la relation que nous avons établie entre 

 Ap et ^p. Par suite on aura 



/ .u (2n — 2) (271 — 3) . . . (27i — A-:— 1) , , ,, 



(22) A;, = (— !)'■•. ^ Ll L^^ !^ _' a" -'•-! c' ?.,,. 



