588 SUR l'intégration d'une fraction rationnelle. 



Remarquons encore que de la relation (10) 



a''+U„_^_o = c^'+U„+p(p = 0,1,2, . . . , 71 — 2) 

 il résulte une relation analogue entre les quantités a 



(23) c^' + ' A,,_,,_, = a'' + iA„ + ^,. 



4. Revenons maintenant aux équations (2) qui déterminent 

 les coefficients a,. 

 En posant 



^, — 6o A, — 6, A,._, =5,(i=l,2, . . . , 2n — 2) 



ces équations, en omettant la première et la dernière, s'écrivent 



Bin - 2 = — C«2» - -i 



B2,, _ 3 = (m — 2) ba.2„ _ :! — 2caM _ 4 

 l Bo„ - 4 = (2n — 3) aan„ _ 3 + (n — 3) ba-^n - 1 — 3ca2„ _ 5 

 1 B^n^r, = (2% — 4) aa-i, _ 4 + (w — 4) feao,, _ -, — 4can„ _6 



^3 = 4aa,j ~ {n — 4) ha.^ — (2n — 4) ca^ 

 B.> = Saa.^ — {n — 3) ba^ — {2n — 3) ca, 

 5i = 2aa2 — (71 - 2) ba^ — (2?i — 2) ca^ 



On obtiendra donc successivement 



a., _^ = --?^ 

 2» -3 ^ 



"^'" - ^ = - "2r" - ^'' - -^^ 2c^ ^■^" - '-^ 



. _ ^^'i_-JL /., q^JLß 2( 2n-3)a c + (u-2) (n-3)?> '^ 



etc. 



En général un coefficient quelconque prendra la forme 



(25) a„_, = -iî;^-'i?,,^,^,~<^,,_,^,-...-<_,52„-2 

 où 



1 



Ä '" = 



(ifc — 2)c 



^(/.•)_ in — k + 2) b 



\k — 2){k — 3)c^ 



,tk) 



_{k—S)(2n—k+2)ac + {n — k + S){n-k + 2)b^ 



••' ~ (Ä; — 2)(Ä;-3)(Ä;-4)c-' 



,,,, _ 2(n- k + S)[(2k-l)n-{k'2) (k-4)]abc+ {n- k+4)in-k+3)in-k +2)b'^ 



' {k-2){k-3){k-4){k-b)c'' 



