38 Sitzung der jilij'sikaliscli-niatheniatischen C'lasse vom lU. Januar. 



3. 



Wir uinolien jetzt Gebraucli von foln'endem Satze: 

 Ist 



(1) y=./V,") 



eine Lö.sun.n' der tileiohung (A), wo u eine Avillkürliclie Grösse bedeutet, 

 von welelier die Coefflcienten dieser Gleichung unabhängig sind, so sind 

 ;iueh die sämmtlichen partiellen Ableitungen von y nach der Grösse // 

 Lösungen derselben Difl'erentialgleicliung. ' 



A^'ir liaben" nachgewiesen, dass eine ganze rationale Function von 

 log(2 — n] deren Coefficienten abgesehen von einem allen gemeinsamen 

 Factor (~ — oY in der Umgebmig von z^(t eindeutige Functionen sind. 

 nur dann identiscli verschwindet, wenn die einzelnen Coefflcienten ver- 

 sehwinden. 



I. Ein analoger Satz gilt aucli für einen Ausdruck 



(2) F = ^'\A^ + Aj-\-... + Aj"'\, 



Avorin ^. / diesell)e Bedeutung wie in A'origer Nummer haben 

 und A„, A^. . . . , A,„ Functionen von z sind, welclie bei dem 

 Umlaufe T/ungeändert bleiben. Das identische Verschwinden 

 von F erfordert, dass A„. A^. . . . , A,„ identiscli Null sind. Der 

 Beweis ist ganz so wie bei dem Specialumlauf um : ^ a zu führen. 

 Dieser Satz gestattet auch eine Erweiterung', welclie der für einen 

 speciellen Umlauf lun eine einzige singulare Stelle gemachten analog 

 ist, dass das Verschwinden einer Summe von Ausdrücken der Form (2). 

 worin die Exponenten r sich niclit um ganze Zahlen unterscheiden, 

 das Verschwinden aller einzelnen Summanden zur Folge hat. 



II. Ist daher 



(3) y = F{z.t) 



eine ganze rat iona le Function von z und /, deren Coefficien- 

 ten bis auf einen allen gemeinsamen Factor P'' bei dem Um- 

 lauf T ungeändert bleiben eine l,ösung der Gleichung (A). 

 so ist auch 



(4) ■ !j =zF{z.f+X) 



für einen willkürlichen Werth von Ä eine Lösungder Glei- 

 chung (A). 



Der Beweis ist wieder analog wie für den Speciahmilauf um 

 z =■ a zu führend 



' Vergl. Köhler, Inauguialdissei-tatioii, Heidelberg 1879. 



" Crelle's Journal Bd. 68, S. 356. 



^ \^ergl. Thome, Crelle's Journal Bd. 74. S. 194 und llEriTER. a. a. O. S. 2j8. 



* Vergl. Heffter, a.a.O. S. 107. 



