Fuchs: Zur Theorie der linearen DifFerentialgleichuiigen. 45 



Nach denselben Principien lässt .sich allgemem' für eine DilVe- 

 rentialgleichung n^" Ordnung der Satz beweisen, dass die Anzahl der 

 Werthe der unabhängigen Variablen z. für welche sännntliche (^tuo- 



tienten \ -^ " denselben Wertli anneinnen Ivönnen. eine vm\- 



.'/, .'/, ,y, 



liehe ist. wenn nicht die Scämnitliclien Invarianten der DilVerential- 

 nleichun^' verschwinden oder (He Covarianten der Fonn (/> gewisse Be- 

 sonderheiten darT)ieten. 

 Sei 

 (M) u = A,>/ + A,>/'+ . . . + .1„_,//'— ''. 



wo A„. A,, .... -l„_i willkürlicli angenounnene rationale l'"unctionen ^■on 

 z sind, und es wenle 



(I) «X- = X/A-H J,//;+ . . . +.4„_,.!/l:'-> 



gesetzt, so wird (p{u,, ii.,, . . . . i/„) die Eigenschaft liaben. nach jedem 

 Umlaufe der Variablen z in sicli selbst mit einer Constanten multipli- 



cirt überzugehen, da y,.u, u„ dieselbe Substitutionsgnippe w ie 



y, , j/j . . . . . y„ besitzen. Für willkürliche Functionen A, kann aber 

 (p{ii,, u^, . . . , u^) nicht identisch verschwinden, da für einen willkür- 

 Hchen Werth von z die Wertbe u,, u^, . . . . ij„ willküi-lich bestimmt 

 werden können, </) (S-, , 3-^ , . . . , S-„) aber nicht für beliebige Wertlie der 

 Argumente verschwindet. 

 Sei daher 

 (N) </)(«,, 1/,, ...,«„) = %(j), 



so ist %(2) eine nicht identisch verscliwindende Function von r. deren 

 logarithmische Ableitung rational ist. wenn wir voraussetzen, dass die 

 Differentialgleichung (A) zu der Classe gehört, deren Lösungen ülterall 

 bestimmt sind. 



Setzen wir 



so folgt aus (N) 





( 3 ) ^/" • \1/ (•/!,. vi^ .... , •/!„_,) = yjz) . 



Für zwei Werthe c und z,. für welche -/i, . >ij , . . . , vj„_, denselben 

 Werth erhalten, folgt dann 



u,(zy _ uAz,)" 

 Hieraus folgt nach den oben aui^-eführten Schlüssen: 



' Vergl. LuDwin Schlesinger, Itinuguraldissertation 8.231!"., Haiidbiicti II. i, S. 232. 



