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Über die Charaktere der alternirenden Grruppe. 



Von G. Frobenius. 



Uie Charaktere der alternirenden Gruppe der Permutationen von 

 n Symbolen lassen sich durch ein Verfahren bestimmen, ähnlich dem, 

 das ich (Sitzungsberichte 1900) zur Berechnung der Charaktere der 

 symmetrischen Gruppe benutzt habe. 



Die alternirende Gruppe § des Grades n besteht aus den geraden 

 oder positiven Permutationeu der symmetrischen Gruppe §'. Eine 

 Permutation, die aus s Cyklen Cj , (7,, • • • (7, von je Cj,C2,---c, Sym- 

 bolen besteht, ist gerade oder ungerade, je nachdem 2(c— 1) = n — s 

 gerade oder ungerade ist. Die Gruppen 5 und §' haben die Ord- 

 nungen h ^ j til und h' r= 2h, ihre Elemente mögen in k und Ä'Classen 

 zerfallen. Auch in § können zwei Permutationen nur dann conjugirt 

 sein, wenn sie aus gleich vielen Cyklen derselben Ordnung bestehen. 

 Es fragt sich aber, ob alle solche Permutationen auch in § nur eine 

 Classe bilden. Denn zwei gerade Permutationen R und S sind in § 

 stets und nur dann conjugirt, wenn es eine gerade Pei-mutation P 

 giebt, die der Bedingung P~^ RP = S genügt. 



Sind R und S in Ö' conjugirt, so ist diese Bedingung stets er- 

 füllt, wenn R mit einer negatiA'en Permutation T vertauschbar ist. 

 Denn in l5' giebt es eine solche Permutation Q. dass Q~'i?Q = S ist. 

 Ferner ist {TQ)-'R(TQ) = Q-'(T-'RT) Q = Q-'RQ = S, und von den 

 beiden Permutationen Q und TQ ist immer die eine gerade. In diesem 

 Falle ist also die Classe von § durch die Zahlen Ci, c^, ■■■ c, vollständig- 

 bestimmt. 



Ist aber R mit keiner negativen Permutation vertauschbar, so 

 können R und T'^RT = S in JÖ nicht conjugirt sein, falls T ungerade 

 ist. Denn sonst gäbe es eine solche positive Permutation P, dass 

 P~'SP =: R wäre, und daher wäre die negative Permutation TP mit R 

 vertauschbar. 



Sind P^, P^, •■■J^,, die h positiven Permutationen, so sind 2'Pi, 

 IP.^ . • ■ ■ TP/, die h negativen. Daher sind 



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